2009 Fiscal Year Annual Research Report
保型形式に付随するモチーフの具体的構成に関する研究
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19740017
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
山内 卓也 Osaka Prefecture University, 総合教育研究機構, 教育拠点形成教員 (90432707)
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| Keywords | 潜在的保型 / Calabi-Yau族 / エンドスコピー / ガロアコホモロジー |
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| Research Abstract |
前々年度の研究計画に沿って得られた研究により,ある超幾何層に付随する代数多様体の族の各ファイバーの潜在的保型性を昨年度の研究成果を用いて示すことを目標とした。
この多様体の保型性を示すために先ず、対応するモノドロミー表現が十分大きいことを示すために、モノドロミー作用を具体的に計算した。モノドロミーの計算には考えている超幾何層に備わっているガウスマニン系から得られるピカールフックス型の微分方程式のモノドロミーの計算に帰着して行った。
そして、幾何的なガロア表現と数論的なガロア表現の性質を見比べることで数論的なガロア表現の像が(保型性を示す際に重要となるTaylor-wiles系が適用できるぐらい)十分大きいことが示すことができた。また構成した族の特別なファイバーには位数4の自己準同型が作用しこれによって、超幾何層を分解すると、そのエタール実現に付随するガロア表現がユニタリ型になるようなものが構成できる。さらに、特異ファイバーにも剛カラビヤウ多様体が現れることが証明できた。これは剛カラビヤウ多様体の平滑化を与えているので興味深い例と思われる。
GSp4型ガロア表現の保型性の証明も目標としていたが、これに関して同伴形式の存在に関して幾つかの成果を得、幾つかの大学で講演を行った。
P進ホッジ理論の原型となったTate-Senのガロアコホモロジーの計算を乗余体が非完全な局所体で係数がこの体上のバナッハ代数である場合にガロアコホモロジーを計算した。また計算の途中でBrinonが構成した,Cp表現からK_∞表現への関手をFontaine流に解析的な環を導入し直接構成した。
また岡崎氏との共同研究で、Kleinの3次超曲面と呼ばれる3次元多様体のL関数を計算し、GL(2)の保型表現のL関数の積で表示した。この超曲面はあるジーゲル3次元多様体Sの非特異平滑モデルとなっており、GL(2)の保型表現からS上の非正則(2,1)形式の微分形式に付随するGSp4の保型表現へのliftが期待されるが、実際にそのようなliftをends copic lift Fとして計算した。副産物として、FのL関数はSのL関数に寄与しえないことも示された。
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