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2007 Fiscal Year Annual Research Report

ポテンシャル解析による非線形偏微分方程式の研究

Research Project

Project/Area Number 19740062
Research InstitutionAkita University

Principal Investigator

平田 賢太郎  Akita University, 教育文化学部, 講師 (30399795)

KeywordsMartin核 / Green関数 / 優調和関数 / 境界増大度 / 非線形楕円型方程式
Research Abstract

本年度は,調和関数・優調和関数の境界挙動および非線形楕円型方程式の正値解の存在に関して以下の研究成果をあげた.
1.Fatou-Naim-Doob理論を発展させ,任意に2つの交わる領域を与えたときにそれぞれの領域のMartin核の比に対する極小細極限を完全に調べた。この一般論の具体的応用として,Lipschitz領域のMartin核の極付近での増大度と領域の形状の関係を明らかにした。
2.前年度に相川,Lundhとの共同研究で開発した手法を用いて,複雑な境界をもつ錐領域の頂点および無限遠点におけMartih核が唯一つ存在することを示した.また,非接領域内の集合の尖細性と極小尖細性の同値性を示し,正値優調和関数の増大度に関する結果を得た.
3.滑らかでない領域においてはGreen関数やMartin核の挙動は不明であるが,弱い内部条件のもとで「両者の積」がMartin核の極付近で具体的な関数で評価できることを発見した.また,内部条件を課さない場合,そのような評価が不成立となる反例を与えた.
4.特異型非線形楕円型方程式(例えば,△u=u^<-α>のDirichlet問題の正理解の存在について考察した.境界値が小さいとき正値解は存在しないが,境界値がある値より大きいときは必ず正値解が存在することをポテンシャル論的手法を用いて示した.
5.滑らかな領域において,非線形不等式(例えば,-△u≦u^p)を満たす正値優調和関数の境界増大度と非線形性の関係について考察した.p≦(n+1)/(n-1)の場合はそのような優調和関数の境界増大度は正値調和関数の最大増大度以下となり,p>(n+1)/(n-1)の場合は幾ちでも速く増大する優調和関数が存在することを明らかにした.また,非線形楕円型方程式の正値解でPoisson核と比較可能なものの存在についても指数(n+1)/(n-1)が臨界値であることをポテンシャル解析を通して明らかにした.

  • Research Products

    (9 results)

All 2008 2007

All Journal Article (5 results) (of which Peer Reviewed: 5 results) Presentation (4 results)

  • [Journal Article] On the existence of positive solutions of singular nonlinear elliptic equations with Dirichlet boundary conditions2008

    • Author(s)
      Kentaro, Hirata
    • Journal Title

      Journal of Mathematical Analysis and Applications 338

      Pages: 885-891

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The boundary growth of superharmonic functions and positive solutions of nonlinear elliptic equations2008

    • Author(s)
      Kentaro, Hirata
    • Journal Title

      Mathematische Annalen 340

      Pages: 625-645

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Boundary behaviour of quotients of Martin kernels2007

    • Author(s)
      Kentaro, Hirata
    • Journal Title

      Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 50

      Pages: 377-388

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Martin boundary points of cones generated by spherical John regions2007

    • Author(s)
      Kentaro, Hirata
    • Journal Title

      Annales Academiae Scientiarium Fennicae, Mathematica 32

      Pages: 289-300

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Estimates for the products of the Green function and the Martin kernel2007

    • Author(s)
      Kentaro, Hirata
    • Journal Title

      Nagoya Mathematical Journal 188

      Pages: 1-18

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 非線形不等式を満たす優調和関数の境界挙動に関する注意2008

    • Author(s)
      平田賢太郎
    • Organizer
      日本数学会2008年度春季年会(関数論分科会)
    • Place of Presentation
      近畿大学
    • Year and Date
      2008-03-23
  • [Presentation] Boundary behavior of superharmonic functions satisfying nonlinear inequalities in the unit disk2008

    • Author(s)
      平田賢太郎
    • Organizer
      The Eleventh Conference on Real and Complex Analysis
    • Place of Presentation
      広島大学
    • Year and Date
      2008-02-18
  • [Presentation] 平面領域において非線形不等式を満たす優調和関数の非接境界極限2007

    • Author(s)
      平田賢太郎
    • Organizer
      2007年度ポテンシャル論研究集会
    • Place of Presentation
      広島大学
    • Year and Date
      2007-11-02
  • [Presentation] Dirichlet境界条件を満たす非線形楕円型方程式の正値解の存在2007

    • Author(s)
      平田賢太郎
    • Organizer
      日本数学会2007年度秋季年会(函数論分科会)
    • Place of Presentation
      東北大学
    • Year and Date
      2007-09-23

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Published: 2010-02-04   Modified: 2016-04-21  

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