2019 Fiscal Year Annual Research Report
Fourier coefficients and zeros of modular forms
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19F19318
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
金子 昌信 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70202017)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
PAUL BIPLAB 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 外国人特別研究員
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| Project Period (FY) |
2019-11-08 – 2022-03-31
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| Keywords | ジーゲルモジュラー形式 / ラマヌジャン・ピーターソン予想 / デデキントゼータ関数 / 零点の個数評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一つには，Balesh Kumar 氏との共同研究により，次数2以上のSiegel尖点形式のFourier-Jacobi係数のPeterssonノルムに関する，Ramanujan-Peterssonの予想を条件付きで解決した．すなわち，その尖点形式がHecke固有形式であり，かつ，Duke-Imamoglu-Ikeda リフトによる像である場合は予想が正しいことを証明した．これは先行のKohnen-Sengupta の結果を拡張するものであり，まだDuke-Imamoglu-Ikeda リフトによる像という強い制限付きの結果ではあるが，この予想が現状殆ど手つかずに近いことを考えれば，大変意義ある成果である．さらに，Fourier-Jacobi係数のPeterssonノルムの下限についてのオメガ結果を得ることにも成功した．
二つ目は，Ayyadurai Sankaranarayanan 氏との共同研究で，代数体のDedekindゼータ関数の零点の臨界領域における個数の評価，また，与えられた数以下のノルムを持つイデアルの個数を数える関数の漸近評価の誤差項の改良について，成果を得た．零点の個数については，Heath-Brownの評価を改良する優れたものである．イデアルの個数の評価はLandau以来の古いテーマであり，近年に至ってもわずかずつの改良がなされている．今回の成果は，代数体の次数が10次以上という条件の下で，従来の結果を改良するものである．いずれも解析数論の王道と言ってよく，二乗平均の評価を巧妙に行うなど，伝統的な技法に新しい工夫を加え，理論を発展させている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一つの研究目的である，ジーゲルモジュラー形式のフーリエ展開係数の数論に関する研究については，成果欄に記載のごとく，重要な成果を得ることが出来ている．二次の場合に特化して，「同時符号変化」と「重複度１定理」との関連を進化発展させるという目的については，多少方向性が変わってきて，その通りには進展していないが，特に問題とするには当たらないと考える．一変数モジュラー形式の零点分布の研究や，それと重複度１定理との関連についてはこの年度の進展はなかった．しかしながらDedekindゼータ関数の零点という，いわば本来的な零点分布の研究に進展が見られたことから，研究の進捗状況としてはおおむね順調に推移していると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
Balesh Kumar 氏やAyyadurai Sankaranarayanan 氏とは引き続きメールやスカイプでの議論を通し，共同研究を推進する．また本来は，日本のモジュラー形式研究者との直接の交流を積極的に行い，彼らの手法を吸収しながら，自らの研究手法の拡大・深化に努め，また特別研究員の問題意識を共有することで，視野を広げ，新たな立脚点の発見に努めるというのが当初の方策であった． 具体的には早稲田高等学院の坂田裕氏や，東京工業大学の Soma Purkait 氏，獨協大学の小笠原健氏などのもとを訪れ，研究交流を行う予定であったが，一部を除いて，新型肺炎の影響で実現しておらず，また今後も先が見通せない状況にある．当面はメールやスカイプなども活用しながら，主として受入研究者とともに共同でモジュラー形式の零点の研究に着手，またジーゲルモジュラー形式のフーリエ展開係数の議論，研究を行っていく．
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Research Products
(6 results)
