2022 Fiscal Year Annual Research Report
シチジー理論とシンボリック冪の現代的潮流を踏襲する可換環論の戦略的研究の展開
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19H00637
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
日比 孝之 大阪大学, 大学院情報科学研究科, 名誉教授 (80181113)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
蔵野 和彦 明治大学, 理工学部, 専任教授 (90205188)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | シチジー理論 / シンボリック冪 / Cox 環 / シンボリック Rees 環 / Hibi 環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（シンボリック冪）研究分担者の藏野和彦は、西田康二、高橋亮、稲川太郎等とスペースモノミアル曲線のシンボリック・リース環の有限生成性に関する研究を継続した。有限生成性は永田予想に顕著な影響がある。スペースモノミアル曲線のシンボリック・リース環の有限生成性に関する諸般の結果は、三頂点が格子点である三角形から定まるトーリック曲面の一点ブローアップの Cox 環の有限生成性に拡張できることがある。本研究では、ある三角形の場合の Cox 環がある正標数では有限生成ではないことを証明することに成功し、第 34 回可換環論セミナー（北見工業大学）、東京可換環論セミナーで報告した。この結果からは、永田予想の n が平方数の場合しかわからないが、永田予想へのアプローチとして、この方針は正しいとの感触を得ることができた。
（シチジー理論）研究代表者は、ドイツのエッセン大学に滞在し、Juergen Herzog のグループと有限単純グラフの頂点被覆イデアルの冪の componentwise linearity に関する国際共同研究を実施し、懸案の未解決予想「玄グラフの頂点被覆イデアルの冪は componentwise linear である」の肯定的解決に向けての挑戦を継続し、グレブナー基底といわゆる x-condition のテクニックを進化させ、部分的な結果を得ることに成功した。とりわけ、任意の有限単純グラフのそれぞれの頂点に、unmixed 玄グラフ；Cohen--Macaulay 二部グラフ；path graph；Cameron--Walker graph whose bipartite graph is complete を添加したグラフの頂点被覆イデアルの冪は componentwise linear であることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
シンボリック冪の研究も、シチジー理論の研究も、研究成果は十分なものである。国際共同研究も遂行され、当初の研究計画に沿った研究が展開されている。
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| Strategy for Future Research Activity |
下記の実施計画に沿い、シンボリック冪とシチジー理論の研究を発展させる。
（シンボリック冪）自己交点数が０または負の曲線の存在性が、スペースモノミアル曲線のシンボリック・リース環の有限生成性に影響する。正標数で自己交点数が負の曲線があれば、Cutkosky の定理によりシンボリック・リース環は有限生成である。研究分担者の藏野和彦の従来の研究で、ある正標数で自己交点数が０の曲線が存在するという状況で、シンボリック・リース環が有限生成でない例を発掘した。今後、自己交点数が０の曲線が存在するという仮定の下、どのような標数でシンボリック・リース環が有限生成になるのかを探究する。
（シチジー理論）研究代表者は、2024 年 9 月 4 日から 9 月 15 日、イスタンブールに滞在し、Nursel Erey と有限単純グラフの squarefree 冪の regularity を巡る国際共同研究を実施する。更に、2024 年 10 月 6 日から10 月 12 日、American Institute of Mathematics に滞在し、SQuaRE プロジェクト（継続）の枠組みで、有限単純グラフの辺イデアルの冪の正則度の探究を Sara Faridi, Susan Morey, Tai H Ha, Nursel Erey, Selvi Kara と展開する。
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