2021 Fiscal Year Annual Research Report
Integral development of theory of operator algebras
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19H00640
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河東 泰之 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90214684)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 作用素環 / 部分因子環 / 共形場理論 / テンソル圏 / 交換4角形 / フュージョン圏 / 組み紐圏 / 双ユニタリ接続 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
作用素環論における部分因子環の研究を行っている．ここでは，II_1型因子環と呼ばれる作用素環の適切な部分環（単に部分因子環と呼ばれる）を構成したり分類したりすることが問題となる．その中で，commuting square と呼ばれる有限次元の作用素環4つの組があれば，そこから部分因子環が標準的な方法で作られることがよくわかっている．そのようにして作られる部分因子環の対称性を記述する代数系が，低次元トポロジーにおける量子不変量，量子群，共形場理論などとの関連で注目を集めてきたが，今日では適切な代数系はテンソル圏であるということが共通の理解である．中でも既約な対象が（ユニタリ同値の意味で）有限個しかないという，フュージョン圏が重要なクラスとして盛んに研究されている．そこで上述のように，commuting square から作られた部分因子環がいつフュージョン圏に対応するかということが基本的な問題となる．
これは1990年代に研究されていてもよかった問題であるが，当時は道具が足りず，研究が進んでいなかった．一方，最近の物性物理学で注目を浴びている2次元位相的秩序の理論に現れる数学的構造が，このフュージョン圏と同じものであることが関心を呼び，作用素環論の古い問題が再び注目を集めることとなった．この流れの中で，2次元位相的秩序の研究に現れる様々な数学的概念が，部分因子環ですでによく研究されているものとおなじであることが多く明らかとなった．
この流れの下で，上述のフュージョン圏に対応する commuting square と特徴づけの問題をテンソル圏の言葉で解決した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルス感染症のため海外との研究交流に障害が生じたが，独自の視点から研究を進めた．
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| Strategy for Future Research Activity |
物性物理学との関連の解明をさらに進めたい．特に，量子スピン系，カイラル共形場理論の共形ネットとの関係をより明確に理解したい．
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Research Products
(7 results)
