2020 Fiscal Year Annual Research Report
ディリクレ形式に基づく確率解析の研究―空間構造と特異性の解明―
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19H00643
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
日野 正訓 京都大学, 理学研究科, 教授 (40303888)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
楠岡 誠一郎 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20646814)
竹田 雅好 関西大学, システム理工学部, 教授 (30179650)
上村 稔大 関西大学, システム理工学部, 教授 (30285332)
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
会田 茂樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90222455)
松浦 浩平 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90874355)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 確率解析 / ディリクレ形式 / マルコフ過程 / ラフパス / 確率量子化方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題に参画した研究者は以下の成果を挙げた。
日野と松浦は，ランダムに配置された有限個の点集合におけるマルコフ連鎖がスケール極限において領域上の反射壁ブラウン運動に収束するための条件について考察した。竹田は，ディリクレ形式の再帰性とシュレディンガー形式の臨界性の対応関係を応用して、シュレディンガー形式に対するリュービル性を示した。また、シュレディンガー形式の臨界性を用いてハーディ・タイプの不等式を導いた。桑江は，境界の無い完備リーマン多様体上の滑らかなベクトル場VによるV-Laplace作用素を考え, Vに対応するN-Bakry-Emery Ricci tensorに, Lu-Minguzzi-Ohtaが導入し証明したε-rangeというεの範囲を伴うリッチ曲率下限条件を与えたときのV-Laplace作用素の比較定理を基に，種々の幾何学的剛性定理を導出した。また，対称マルコフ過程の枠組みにおいて熱核の短時間上下評価の条件下のもとで２種類のLp-加藤クラスが同定できることを示した。上村は，Levy過程に対する均質化問題を考えた。特にLevy densityの係数に対して可積分性と周期性の条件のもとで，対応するディリクレ形式のMosco収束を示すことに成功した。楠岡は，Euclidean quantum field theoryに現れるΦ4モデルとHoegh-Krohnモデルの確率量子化方程式について研究を行った。Φ4モデルでは以前は3次元トーラスで行っていたが，3次元ユークリッド空間で同様の結果が得られた。Hoegh-Krohnモデルに対しては，結合定数の範囲を最大限広げることに成功した。会田は，非整数ブラウン運動で駆動されるラフ微分方程式の解の近似誤差の極限過程の研究のため，ヘルダー連続なパス空間での位相でのウィーナーカオスの重み付き和に対する中心極限定理の研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者および研究分担者は各自研究を進めており，順調な成果を挙げている。2020年度は新型コロナウィルスの影響で遠方に出向いての研究交流が著しく困難であったが，オンラインによる交流によってある程度は補えたものと考えられる。以上により，自己点検による評価は「おおむね順調に進展している」とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者および研究分担者は順調に研究を遂行しているため，研究計画に沿った研究の実施を今後も続ける。新型コロナウィルスの影響が研究を遂行する上で問題になる場合は柔軟な対応を行うものとする。引き続き，得られた成果は国内外の研究集会で発表を行う。
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