2022 Fiscal Year Annual Research Report
ディリクレ形式に基づく確率解析の研究―空間構造と特異性の解明―
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19H00643
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
日野 正訓 京都大学, 理学研究科, 教授 (40303888)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
楠岡 誠一郎 京都大学, 理学研究科, 教授 (20646814)
竹田 雅好 関西大学, システム理工学部, 教授 (30179650)
上村 稔大 関西大学, システム理工学部, 教授 (30285332)
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
会田 茂樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90222455)
松浦 浩平 筑波大学, 数理物質系, 助教 (90874355)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 確率解析 / ディリクレ形式 / フラクタル / ラフパス / マリアバン解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
日野は，シェルピンスキーガスケット上の局所スペクトル次元の定量評価について研究し，特にスペクトル次元よりも真に小さい値であることを証明した。
竹田は，ディリクレ形式の再帰性とシュレディンガー形式の臨界性とがｈ変換を通して結びつくことを用いて，最適なL^2ハーディ型不等式が系統的に導けることを示した。
上村は，対称安定過程に対応するDirichlet形式に対して，適当な測度をポテンシャルとするシュレーディンガー形式を考え，その形式の臨界性をポテンシャル測度の条件を用いて導出した。また，一般のドリフト項をもつ拡散過程の列に対して，適当な条件のもとで，拡散過程の列からH収束する部分列を抽出できることを示した。
桑江は，江崎翔太氏と徐梓健氏と共同で，符号値測度を曲率の下限にもつTamed Dirichlet spaceの枠組みでL^p-関数に対するLittlewood-Paley-Stein不等式を導出した。また，柳青氏と北川潤氏と共同で，非崩壊のRCD空間上の(1,p)-Sobolev空間におけるMorreyの不等式を得た。
会田は，ハースト指数Hが1/3と1/2の間の非整数ブラウン運動で駆動されるRDEの様々な近似解と真の解の誤差過程の分布の漸近挙動を，4次モーメント定理，マリアバン解析，多次元ヤング積分の評価を用いて求めた。楠岡は，指数確率量子場測度の構成の研究において，平均化による近似に対しても従前の手法が適用できることを示した。また，特異確率偏微分方程式と従来の確率微分方程式の理論における細かな違いが解の一意性やマルコフ性に与える影響について，具体例をもって考察した。
松浦と日野は，真木新太氏と共同で，ユークリッド空間の領域上の反射壁ブラウン運動の離散近似に関する結果を得た。また，松浦は対称マルコフ過程のフェラー性について研究を行い，時間変更という操作における安定性を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者の日野はフラクタル上の解析に関する成果を得た。研究分担者の上村・竹田・桑江はディリクレ形式の理論についての新たな成果を挙げている。会田はラフパス解析に関する成果を挙げ，楠岡は量子確率場の研究に関する新しい知見を得た。松浦は対称マルコフ過程の性質に関する成果を挙げた。また，日野と松浦は確率過程の離散近似についての共同研究も行っている。このように研究は順調に遂行されているため，その旨の自己評価を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者および研究分担者は順調に研究を実施している。今後も引き続き研究を進めていく。特に進捗が見込めそうな課題については，当初想定していなかったものについても柔軟な取り扱えるように研究計画を立てるものとする。新型コロナの影響がほぼ無くなったため，対面による国内外の研究集会に積極的に参加し，発表を行うようにする。
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Research Products
(22 results)
