2019 Fiscal Year Annual Research Report
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19H00644
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
町原 秀二 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (20346373)
BEZ NEAL 埼玉大学, 研究機構, 准教授 (30729843)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 調和解析 / 漸近解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分型シュレディンガー方程式をはじめとする微分型相互作用を持つ古典場模型の非線型偏微分方程式は、ピカール逐次近似の枠組において、必然的に微分の損失を伴うため、その回避を巡って方程式に応じた個別の方法論が提案されているが、未だに本質的な理解に至っていない。本研究の目的は、近年の微分型シュレディンガー方程式の初期値問題の時間大域的存在を保障する新しい閾値の変分解析的理解を足掛かりとして、微分型相互作用の大域的構造を(a)漸近解析、(b)調和解析、(c)変分解析の三つの方法論に基づいて明らかにする事である。
令和元年度は、漸近解析班は自己相似解の研究を中心に、調和解析班は非線型ポテンシャルの研究・特性法の函数空間論的定式化を中心に、変分解析班は輪郭分解の基礎理論の研究を中心に研究を進めた。
特に、通常の非線型微分シュレディンガー方程式(Derivative Nonlinear Schr\"odinger Equation)の自己相似解を世界に先駆けて構成する事が出来た。求めるべき自己相似解が一つ決めた時刻の状態で決定されてしまう事に注目し、その時刻での波動函数を振幅函数と位相函数に分離して夫々が満たすべき微分方程式を導出したところ、位相函数が本質的には振幅函数で決定されてしまうと云う新しい知見を得た。これにより、振幅函数の大域解の構成に問題の全てが帰着する事になった。振幅函数の従う非線型常微分方程式を解析する事によって、大域解を構成する事が出来たので、自己相似解を具体的に表示する事が出来た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画は予定通り順調に進んでいる。現在までの研究で思いがけない着想が幾つか得られており、今後の進展に繋がる事が期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和2年度は、令和元年度に引き続き、漸近解析班は自己相似解の研究を中心に、調和解析班は非線型ポテンシャルの研究・特性法の函数空間論的定式化を中心に、変分解析班は輪郭分解の基礎理論の研究を中心に研究を進める。後半からは、漸近解析班・調和解析班は分散構造の研究、変分解析班はハミルトン構造の研究にも着手する予定である。
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