2019 Fiscal Year Annual Research Report
Cohomology of locally symmetric spaces and Langlands functoriality
| Project/Area Number |
19H01781
|
|---|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
市野 篤史 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40347480)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | ラングランズ関手性 / 絶対Hodgeサイクル / テータ対応 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
Kartik Prasanna（ミシガン大学）と共同で、総実代数体上の四元数体の乗法群に対し、Jacquet-Langlands対応と絶対Hodgeサイクルの研究を行った。ラングランズ関手性の最も基本的な場合であるJacquet-Langlands対応は、四元数志村多様体の積上の代数的サイクルによって実現できると予想されている。その予想の解決は非常に難しいと考えられているため、対応する絶対Hodgeサイクルの構成を、本研究課題における目標のひとつとして研究を行っている。昨年度までの研究において具体的に構成したHodge-Tateサイクルが、所望の絶対Hodgeサイクルであることの証明を目標として研究を行ったが、今までの研究方針に深刻な障害が発生していることが明らかになった。
研究代表者単独の研究として、実数体上のテータ対応の研究を行った。このテータ対応に関しては、Jian-Shu Liによる十分正則な離散系列表現のテータ対応を具体的に記述する研究があり、９０年代にはこの結果に基づいて多くの数論幾何的な応用が得られていた。それ以降は目立った進展がなかったが、数論幾何への応用を念頭に置きながら、先行研究をユニタリ群の場合に対して拡張し、任意の既約表現に対してそのテータ対応を具体的に記述することを目標として研究を行っている。テータ対応から生じる表現が特異的である場合に大きな困難が発生することが、この分野の発展を妨げる障害となっていたが、大域的な手法と表現の分岐則の別の設定を組み合わせて用いることで、十分正則とは限らない一般の離散系列表現に対して、そのテータ対応を具体的に決定することに成功した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Jacquet-Langlands対応と絶対Hodgeサイクルの研究を、今年度の課題の中心に据えて、重点的に研究活動を行った。共同研究者のKartik Prasannaとは複数回直接会って研究打ち合わせを行い、研究を強力に推進した。また関手性とサイクルにトピックを絞った国際研究集会を主催し、当該分野の研究者から多くの知見を得ることができた。一方で、Jacquet-Langlands対応を与える絶対Hodgeサイクルの候補は構成したものの、それは与えられた表現ではなくその近同値類にしか寄与しないことが明らかになった。また、次に基本的な関手性の例であるユニタリ群のエンドスコピーについても、Hodgeサイクルの構成を目標にして研究を行ったが、同様の障害が発生していることが明らかになった。
実数体上のテータ対応の研究を開始した。これは長年研究されている分野であり、本質的に理論を発展させるためには、新しいアイデアを用いて様々な困難を克服する必要があった。研究代表者はArthur分類とGan-Gross-Prasad予想に着目し、今までの技術では引き出すことができなかったテータ対応の情報を得ることに成功した。特にユニタリ群の任意の離散系列表現に対して、そのテータ対応を完全に具体的に決定した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
Jacquet-Langlands対応と絶対Hodgeサイクルの研究においては、予期していなかった障害が発生していることが明らかになっている。そこでまず基礎体を有理数体に限定して問題を考察する。局所系が自明なときはFaltingsの定理だが、一般の局所系に対して構成した絶対Hodgeサイクルが果たす役割について詳細な調査を行う。それに基づき基礎体が総実代数体で四元数体が総非正定値の場合への拡張を目指す。
実数体上のテータ対応の研究においては、ユニタリ群の離散系列表現に対して得られたテータ対応の具体的な記述を、緩増加表現に対して拡張することを目標にする。既に離散系列表現から緩増加表現に移行する際には、多くの解析的困難が発生することが明らかになっている。特にテータ対応の抽象的な非消滅性と、行列係数の積分を用いて構成したテータ対応の実現の非消滅性を関係づけることが鍵となる。Gan-Gross-Prasad予想における類似の問題はPlancherel公式を用いることで解決しているので、これを参考にしてテータ対応においても同様の理論を構築する。
|
Research Products
(4 results)
