2022 Fiscal Year Annual Research Report
Cohomology of locally symmetric spaces and Langlands functoriality
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19H01781
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
市野 篤史 京都大学, 理学研究科, 教授 (40347480)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | p進L関数 / p進保型形式 / p進Abel-Jacobi写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Kartik Prasanna（ミシガン大学）と共同で、楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のＬ関数の研究を行った。特にＬ関数の関数等式の符号が負の場合に、Ｌ関数の中心微分値と代数的サイクルの関係を明らかにすることを目標として研究を行っている。量指標がイデアル類群の指標の場合、Gross-Zagier公式により中心微分値がHeegner点とよばれる代数的サイクルの高さを使って表せることが知られている。この公式は１９８０年代に証明され、今まで様々な場合に拡張されてきた。そのひとつがBertolini-Darmon-Prasanna公式であり、これはより一般の量指標に対してｐ進Ｌ関数の中心値を一般Heegnerサイクルのｐ進高さ、すなわちｐ進Abel-Jacobi写像を使って表すものである。この公式においては無限素点における関数等式の符号が負と仮定する必要があるが、本研究では無限素点における関数等式の符号が正の場合を考察する。この場合は状況が一変し、先行研究における代数的サイクルの構成を適応しても有限集合しか得られないため、適切な設定を与えることが大きな障害として残っていた。昨年度までの研究において、２次Siegelモジュラー多様体上の代数的サイクルで２次ユニタリ群から定まるものが適切な設定を与えることが判明し、対応するｐ進保型形式の族のｐ進周期にはｐ進Ｌ関数に現れる修正Euler因子が生じることが確認できた。今年度はその研究をさらに推し進め、ｐ進保型形式をｐ除去化するために導入したHecke作用素の研究を行った。特に２次ユニタリ群に制限した上で通常射影を取れば、そのHecke作用素の作用が自明になることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度に引き続き、楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のｐ進Ｌ関数の研究を、今年度の課題の中心に据えて研究活動を行った。共同研究者のPrasannaとは毎週オンラインでミーティングを行った。昨年度までの研究において、ｐ進Abel-Jacobi写像の像を求めるために必要なｐ進微分方程式を解き、その解をｐ進保型形式の族の極限として与えている。しかしその解を構成するためには、ある種のHecke作用素を人工的に導入し、ｐ進保型形式をｐ除去化する必要があった。最終的にはこのHecke作用素の影響を打ち消す必要があるが、GL(2)の場合には生じなかった現象が起こり、GSp(4)上のｐ進保型形式としては大きな困難が生じることが明らかになった。そのため研究は数ヶ月間停滞したものの、ｐ進保型形式を２次ユニタリ群に制限した上で通常射影を取れば、Hecke作用素の作用が自明になることが証明できた。この操作により当該ｐ進保型形式の情報は若干失われるものの、当該研究の目的のためには支障がなく、当初の困難を回避することに成功した。
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| Strategy for Future Research Activity |
楕円保型形式と虚二次体の量指標から定まる次数４のｐ進Ｌ関数の研究の完了を目指す。既に多くの部分は完了しているものの、ｐ進保型形式の極限とｐ進Abel-Jacobi写像の像を関連付ける部分が残っている。当初はｐ進保型形式の極限が過収束であることから直ちに従うと考えていたが、実際は過収束ではないことが既に判明している。しかし対応するｐ進微分方程式の解は一意的ではないため、ｐ進保型形式の極限を過収束保型形式に修正できる可能性がある。このことは実素点で生じる導来関手加群の構造が密接に関係することも分かっているため、その構造を完全に具体的に書き下すことで過収束保型形式に修正する方法を模索する。
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