2022 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of loop spaces and representation theory
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19H01782
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 周 京都大学, 理学研究科, 教授 (40456760)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 半無限旗多様体 / 半無限Richardson多様体 / 安定写像 / affine Grassmann多様体 / 量子K群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は半無限旗多様体のRichardson多様体上の直線束のコホモロジーと旗多様体への種数0の2点付きの安定写像のモジュライ空間の適切な部分多様体上の直線束のコホモロジーの一致を介して半無限旗多様体の同変K群の交叉に対応する積を直線束に対して考えることを作用素と思ったとき、それが量子K群を定めるK理論的Gromov-Witten線形形式において(直線束に対応するいわゆる)シフト作用素を考えることと同一視されることを示した。この事実は自然に半無限旗多様体の同変K群に旗多様体の同変量子K群からの写像が導かれることを意味する。さらにこの写像は適切な意味でSchubert基底を保つため、前年度までに確立した半無限旗多様体の同変K群と(いわゆる普通の)affine Grassmann多様体の同変K群の間の自然なつながりを組み合わせることにより古典的な量子コホモロジー環とaffine Grassmann多様体のホモロジー群の同型であるPeterson同型のK理論版を導くことになる。
ここで、affine Grassmann多様体の同変K群の融合積はその構成から有限性と呼ばれる性質を満たし、特に上のPeterson同型のK理論版は同変量子K群の有限性を導く。量子K群の積構造はそれを定めるK理論的Gromov-Witten線形形式が無限級数からなるためにアプリオリにはこのような意味での有限性を満たす理由はなく、このことは大きな未解決問題として残っていた。また、元々のコホモロジー版のPeterson同型の証明はSchubert基底同士の積公式を具体的に与えることが証明の出発点となっており、今回の構成のように具体的な環構造を使うことなく抽象的に公式が対応することを示すことにより直接有限性が出るというのは幾何学的Schubert calculusの分野においては大きなインパクトがあった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
とりあえず元々の研究計画で行うことになっていたことの最低限度はクリアできたと思う。また、それにより数学的に十分な意味があると思われる結果を確立することができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は前年度の結果をなんとか出版に漕ぎ着けたい。また、それと同時に前年度の結果をいくつかの方向に一般化することやそのための準備とみなせる結果を模索したい。
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