2020 Fiscal Year Annual Research Report
Topological Study on Riemann Surfaces through Higher Cocycles
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19H01784
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
河澄 響矢 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30214646)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ループ演算 / トゥラエフ余括弧積 / 自由群の自己同型群 / オペラド / 写像類群 / ねじれ係数コホモロジー / 安定コホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
共同研究者久野雄介の指摘により19年度に発見した高次ループ演算が既知の演算で表示されることが判明した。久野との共同研究の結果、点つきトゥラエフ余括弧積が曲面の基本群の群環のある両側イデアルに含まれるループについて、その両側イデアルの商環に値をもつ新たなループ演算が定義できた。これは secondary な点つきトゥラエフ余括弧積と解釈できる。既知の演算で書けるか書けないかは不明である。
共同研究者 Arthur Soulie とともに、曲面の単位接束のホモロジー群およびその d 次外積に値をもつ写像類群のねじれ係数安定コホモロジー群の計算を行った。前年度の d=1 に引き続き、一般の d について考察した。まず、d=2は例外で自明係数安定コホモロジー代数上自由であって基底も具体的に与えられる。この計算は無限変数多項式代数の導分についての核と余核の計算に他ならず、一般の d で計算することを目指したが、導分をベクトル場と見たときの特異点が処理できず、自明係数安定コホモロジー代数を適切に局所化したときの代数としての自由生成系を得た。そこで、このねじれ係数安定コホモロジー群の自明係数安定コホモロジー代数上の Tor 群を計算に移行した。具体的な計算を進めつつ理論的な道具を整備する必要があった。
共同研究者 Christine Vespa とともに、かつて代表者が構成していた、自由群の自己同型群のねじれ係数安定コホモロジー類の系列がオペラドの一種である wheeled PROPを使って整理できることを明らかにした。これによって自由群の自己同型群のねじれ係数安定コホモロジー群の計算がオペラドの言葉で定式化できることになった。
研究集会「リーマン面に関連する位相幾何学」を主催し、研究集会「葉層構造の幾何学とその応用」および研究集会「第47回変換群論シンポジウム」を共催した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
前年度発見した高次ループ演算が既知のもので書かれることがわかり、目論見通りとはいかなくなった。ただし、secondary な点つきトゥラエフ余括弧積に到達できたのはよかった。一方で、写像類群のねじれ係数安定コホモロジーについて新しい研究の方向性が見えてきた。
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| Strategy for Future Research Activity |
secondary な点つきトゥラエフ余括弧積についての研究を続ける。また、写像類群のねじれ係数安定コホモロジーについてさらに新しい側面を明らかにしたい。
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Research Products
(2 results)
