Topological Study on Riemann Surfaces through Higher Cocycles

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19H01784
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Kawazumi Nariya 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30214646)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: リーマン面 / ループ演算 / トゥラエフ余括弧積 / 写像類群 / 自由群の自己同型群 / ねじれ係数コホモロジー / 安定コホモロジー / タイヒミュラー空間

Outline of Final Research Achievements

We discovered a new geometric aspect of the Turaev cobracket by introducing the notion of a double gate derivative, and discovered a secondary operation for the Turaev cobracket. We computed the Tor group of
the stable cohomology of the mapping class group with coefficients in the exterior algebra of the first rational homology group of the unit tangent bundle of the surface with respect to the stable cohomology algebra with trivial coefficients up to the fifth exterior power. Such a Tor group had never been computed. We studied a twisted version of the Kawazumi-Zhang invariant. Moreover we introduced a certain operadic structure on the twisted stable cohomology group of the automorphism groups of free groups.

Free Research Field

数学（位相幾何学、リーマン面）

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

曲面の位相的な構造を深く研究するために、曲面上のループのなす演算、曲面の位相的な対称性を記述する写像類群および曲面の上のリーマン面の構造を分類するタイヒミュラー空間の研究を行なった。これら３つのそれぞれについて、新しいループ演算を発見し、写像類群の新しい定量的な研究方法を提案し、タイヒミュラー空間上のある函数についての新しい知見を得た。関連して、既存のループ演算についても新たな幾何的解釈を与え、写像類群と関わりの深い自由群の自己同型群について新たな研究の視点を提案した。