2021 Fiscal Year Annual Research Report

グラフ複体と種々のモジュライ空間のコホモロジー環の構造の解明

Research Project

Project/Area Number	19H01785
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	逆井卓也東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	森田茂之東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (70011674) 鈴木正明明治大学, 総合数理学部, 専任教授 (70431616)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	グラフ複体 / モジュライ空間 / 特性類 / シンプレクティック微分 / 曲面の三角形分割
Outline of Annual Research Achievements	森田、鈴木、逆井の共同研究により、曲面の写像類群の第８Johnson 準同型の像の決定を進めていたが、我々の計算結果と Kupers, Randal-Williams の最新の結果を合わせることで決着をつけることができた。とくに第６Johnson 準同型から現れている Enomoto-Satoh 障害では捕まらない余核が、次数を増やすとともに次第に大きくなっていることが確認された。現在の方法ではそれらの新たな余核成分を統一的に与えるものとなっておらず、適切な準同型写像を構成する必要があることが認識された。 Kim-Manturov によって定義された, 曲面の三角形分割の空間から作られる群 Γn に注目し、田所勇樹氏、田中心氏と共同で、その群の最小生成系やアーベル化の決定を行った。その中で、元の群の Artin 群的対応物である群を定義し、並行して調べていくという手法が非常に有益であった。群 Γn については未知の部分が多かったが、今回の研究により、n が６以上の場合にこの群が非自明群であること、さらに n が５のときには property (T) を持たない無限群であることが確認され、今後の発展を期待させるものとなっている。一方，当初より予定していたグラフホモロジーに関する国際研究集会への参加や開催について、新型コロナ禍の影響が続いてしまったため、本年度の研究費を用いての実施を断念せざるをえなかったのは残念なことであった。翌年度に開催をすべく様子をうかがっているところである。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 新型コロナ禍の影響が続いており、当初より予定していた国際研究集会への参加や開催ができない状態であった。研究費の繰越を利用することで、研究討議や国内の研究集会への参加が多少できるようになったものの、やはり制限が大きく、全体を通じて計画に基づいた行動が難しいものとなってしまった。
Strategy for Future Research Activity	Manivel の安定性を用いたトートロジー環の研究について、研究が遅れていた部分を前半に取り戻していく。新たに注目している Kim-Manturov の群についても、その導出過程に注目しつつ、曲面の写像類群などとの関連を見出したい。新型コロナ禍の状況変化に応じて，適切な方法で研究集会を開き，情報の収集と共有に努める.