2019 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of optimal transport theory and gradient flows
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19H01786
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
太田 慎一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (00372558)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横田 巧 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70583855)
高津 飛鳥 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 最適輸送理論 / 局所化 / 対数ソボレフ不等式 / 等周不等式 / ローレンツ幾何学 / 情報幾何学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の太田は最適輸送理論に関連した不等式とローレンツ・フィンスラー多様体の研究を主に行った。まず研究分担者の高津との共同研究により、無限大リッチ曲率が正定数以上の重みつきリーマン多様体において，対数ソボレフ不等式で等号が成立するのは一次元ガウス空間と重みつきリーマン多様体の直積に限ることを示した。証明には最適輸送理論、特に局所化の理論を用いる。同じく局所化を用いた技法により、Cong Hung MAI氏（京都大学）との共同研究では、無限大リッチ曲率が正定数以上の重みつきリーマン多様体におけるBakry-Ledoux型等周不等式の安定性を与えた。また、Ettore MINGUZZI氏（フィレンツェ大学）、Yufeng LU氏（大阪大学）と共同でローレンツ・フィンスラー多様体の比較幾何的な研究を開始し、Bonnet-Myers型の定理や種々の特異点定理などを確立した。
研究分担者の横田は小澤龍ノ介氏（東北大学AIMR）との共同研究で、測度距離空間やピラミッドと呼ばれる測度距離空間からなる集合の幾何学、特にそれらの列の収束に関する結果を得た。また、Ambrosio-Gigli-Savareが導入したPolish extended measure spaceと呼ばれる空間に対して測度距離空間の理論を拡張し、ピラミッドとの関係を調べた。
研究分担者の高津は松添博氏（名古屋工業大学）と情報幾何学の共同研究を行った。情報幾何における基本的な具体例は確率単体のなす多様体であり、その情報幾何構造として、独立同分布である試行に適した不変性を有するフィッシャー計量が重要視されていた。この共同研究では独立同分布でない試行に適しているであろう不変性を有するリーマン計量を確率単体上で構築した。また、同一のエントロピーが異なる情報幾何構造を導く「エントロピーの不定性」に対する初の具体例を構築した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は主に、本研究で主目的としている最適輸送理論と勾配流に関連した話題と間接的に関係のある研究と、直接関係する研究についての下準備を行った。今年度の研究で用いた局所化は最適輸送理論に基づく深い理論であり、今後の研究でも有用である。また、ローレンツ・フィンスラー多様体の研究はフィンスラー多様体の比較幾何の新たな展開であるとともに、近年注目を集めているローレンツ幾何への最適輸送理論の応用と関連する研究であり、今後も継続していく。
その他に下準備として、Wasserstein距離の計算理論（CuturiによるSinkhorn法）の数学的な理解、フィンスラー多様体上のラプラシアンと同様に非線形となるハイパーグラフ上での劣モジュラ理論を用いたラプラシアンの理論の考察、などを行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究のうち、特に対数ソボレフ不等式の等号成立条件とローレンツ・フィンスラー多様体の研究を継続する。また、現在までの進捗状況の中で述べた下準備に基づいて、Wasserstein距離の計算理論と非線形ラプラシアンの研究、フィンスラー多様体・ノルム空間上の凸関数の勾配流の研究を進める。
Wasserstein距離の計算理論に関しては、CuturiによるSinkhorn法の仕組みを数学的に理解することを目指す。Sinkhorn法は幅広く実用されているが、例えば定量的な精度保証はなく、理論的にも仕組みがよくわかっているとは言えない。今年度の研究で簡単な分布に対してSinkhorn法の解析を試みており、それを足掛かりに研究を進める。
フィンスラー多様体上の凸関数の勾配流に関連して、今年度はハイパーグラフ上で劣モジュラ関数の理論を用いて定義されるラプラシアンが非線形になることと、フィンスラー多様体上の非線形ラプラシアンとの関係の考察を行った。非線形性は熱流の（Wasserstein距離についての）非収縮性と密接に関係しており、凸関数の勾配流の非収縮性の深い理解につなげるべく研究を進める。
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Research Products
(17 results)
