2021 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of optimal transport theory and gradient flows
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19H01786
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
太田 慎一 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (00372558)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
横田 巧 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70583855)
高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 最適輸送理論 / リッチ曲率 / 等周不等式 / ローレンツ・フィンスラー多様体 / 分解定理 / 測度の集中 / 勾配流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の太田はCong Hung MAI氏（大阪大学）と共同で重みつきリーマン多様体におけるBakry-Ledoux型等周不等式の安定性についての研究を行なった。Bakry-Ledoux型等周不等式で等号が成立するのはガウス測度を持つ実数直線との直積空間の場合に限られるという剛性定理が知られている。MAI氏との共同研究では、最適輸送理論に基づく局所化という手法を用いることで、等周不等式が等号に近い場合には局所化で現れる関数による測度の射影がガウス測度に近いという安定性の評価を定量的に与えた。
その他、Yufeng LU氏（大阪大学）、Ettore MINGUZZI氏（フィレンツェ大学）とのローレンツ・フィンスラー多様体の共同研究を継続し、適切な仮定の下での分解定理（splitting theorem）を確立した。これはリーマン幾何学でのCheeger-Gromoll型分解定理のローレンツ版をローレンツ・フィンスラー多様体に一般化するものである。
研究分担者の横田は、前年度から続けていた数川大輔氏（大阪大学）との共同研究において、Gromovが導入したボックス距離とリプシッツ順序に関して測度距離空間からなる任意のプレコンパクト集合が有界であることの証明を完成させた。これはGromov (1999) が主張し証明のスケッチは与えられていたが、完全な証明は与えられていなかったものである。また、この主張の類似としてコンパクト距離空間とGromov-Hausdorff距離に関する主張も証明した。
研究分担者の高津は有限集合上の最適輸送理論に関する緩和問題を研究した。緩和問題では射影を繰り返し緩和された最小化因子を求める方法があるが、高津は最小化因子を多様体上の勾配流の臨界点として求める方法を定式化した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は主に最適輸送理論と関連した比較幾何学の研究、測度の集中現象の基礎的な性質に関する研究、最適輸送の計算理論に関わる数学的な研究を行なった。最適輸送理論や局所化はローレンツ幾何学での研究も近年進んできており、ローレンツ・フィンスラー幾何学への応用も視野に入っている。測度の集中現象の基礎づけに関わる横田の研究や最適輸送の計算理論に関わる高津の研究も普遍的な価値を持つものであり、今後の展開にも期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
凸関数の勾配流の研究について、距離関数が対称でない空間内の勾配流の共同研究を行っており、これを進める。また、Gromov双曲空間上の凸関数の勾配流の研究も進めており、これを完成させる。Gromov双曲空間はリーマン多様体ではないフィンスラー多様体を含むため、本研究課題の主目標の一つに掲げていたフィンスラー多様体上の凸関数の勾配流の理解に貢献するものである。また、ローレンツ・フィンスラー多様体の比較幾何学について、最適輸送理論と関わる研究へと進み、特にリッチ曲率と曲率次元条件との関係を明らかにすることを目指す。最適輸送理論の数学的な研究も継続する。
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