Geometry of optimal transport theory and gradient flows

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19H01786
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11020:Geometry-related
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: Ohta Shin-ichi 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (00372558)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 横田 巧 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70583855) ; 高津 飛鳥 東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 最適輸送 / 勾配流 / 凸関数 / リッチ曲率 / フィンスラー時空 / Gromov双曲空間 / 重心 / 情報幾何

Outline of Final Research Achievements

We had a number of achievements in comparison geometry related to optimal transport theory and in the theory of gradient flows for convex functions on metric spaces. Using the localization technique based on optimal transport theory, we obtained the stability of the Bakry-Ledoux-type isoperimetric inequality as well as the rigidity of the logarithmic Sobolev inequality on weighted Riemannian manifolds. For weighted Finsler spacetimes of timelike weighted Ricci curvature bounded below, we established various comparison theorems and the timelike curvature-dimension condition. Moreover, on Gromov hyperbolic spaces, we showed contraction properties of discrete-time gradient flows for convex functions, a contraction property for barycenters of probability measures, and a law of large numbers.

Free Research Field

微分幾何学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

重みつきフィンスラー時空の時間的曲率次元条件の確立は、近年活発になっている時間的曲率次元条件を満たすローレンツ弧長空間の比較幾何学および相対性理論的な研究におけるフィンスラー時空の立ち位置を明確にするものであり、ローレンツ弧長空間の今後の研究の方向性を定める上で本質的な重要性を持つ。また、Gromov双曲空間はリーマン多様体ではないフィンスラー多様体を含むため、凸関数の時間離散的な勾配流の収縮性は非リーマン的な距離空間で得られた初めての収縮性として価値がある。