2020 Fiscal Year Annual Research Report
Geometry of the space of all variations of mixed Hodge structure over complex manifolds
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19H01787
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
糟谷 久矢 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (80712611)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
藤野 修 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60324711)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 佐々木多様体 / Orbifold / Higher Page Hodge理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクト佐々木多様体上で混合ホッジ構造の変動全体を統一的に取り扱うために、コンパクト佐々木多様体上の非可換ホッジ対応についての理論を整備した。コンパクト佐々木多様体の佐々木構造は適切な変形をとることによってQuasi-Regularな佐々木構造にすることができる。Quasi-Regularな佐々木構造を持つコンパクト佐々木多様体上で非可換ホッジ理論を適用するため、Quasi-Regularなベクトル束という概念を定式化した。Quasi-Regularなベクトル束はQuasi-Regularな佐々木構造を持つコンパクト佐々木多様体のReeb Flowの軌道からなる軌道空間として現れるKahler Orbifold上の特異性を持ったベクトル束であり、このような対象に関する非可換ホッジ対応は特異点の解析が必要であるが、コンパクト佐々木多様体上のTransverse Kahler FoliationのBasicベクトル束のKobayashi-Hitchin対応を用いることによって、一般論としては滑らかな構造のみを用いて非可換ホッジ対応を記述することができるようになった。
研究遂行のため, OrbifoldのようなSingularityを有するような空間およびその特異点解消に関するHodge理論が重要となるが、そのためにはHodge理論をより広い見地から理解する必要があった。そこで、ミュンヘンLudwig-Maximilians大学のJonas Stelzig氏を大阪大学に招聘し、Stelzig氏および氏の研究グループが近年提唱しているHigher Page Hodge理論を用いてComplex orbifoldとその特異点解消についてのHodge理論を調べた。これによってComplex orbifoldのHodge理論的なタイプを変えずに特異点を解消し、滑らかにする技術を確立した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
近年提唱されたHigher Page Hodge理論に影響を受け計画を修正するために時間がかかってしまった。一方で、Higher Page Hodge理論によって研究課題遂行がより効率化された。
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| Strategy for Future Research Activity |
コンパクト佐々木多様体の非可換ホッジ対応を用いて、混合ホッジ構造の変動全体がなす非可換ホッジ構造を研究する。特に、純粋ホッジ構造の変動全体がなすテンソルカテゴリーの理論を構築し、そこに値をとるdifferential graded algebraのSullivan Minimal modelのMorgan mixed Hodge structureを構成する.
ホッジ構造の変動あるいはHarmonic bundleに値をとる微分形式がなすDolbeault-de Rham complexについてHigher Page Hodge理論を用いて構造を研究する。具体的には、ホッジ構造の変動あるいはHarmonic bundleのHiggs fieldから定まる微分作用素がなすLie superalgebraのsuper representationに分解する.
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