2019 Fiscal Year Annual Research Report
グラフィクスとカンドル理論の観点からの4次元トポロジーの研究
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19H01788
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00112524)
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 講師 (20722606)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | トポロジー / 曲面結び目 / ブレイド / グラフィクス / カンドル / ４次元トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
球面上に横断的に交わる閉曲線の族を1型と2型のライデマイスター変形に対応する基本変形を法として分類したものを球面上のdoodleという。1979年にR. FennとP. Taylerにより導入され、doodle図式にnooseの系を与えるとき、自由群における交換子関係式が得られることが示された。その後当研究代表者とFenn達との研究で、doodle図式における基本変形と交換子関係式における基本操作（変形）の間にある種の対応を与えることに成功していた。これらの研究のもとに、初等な交換子関係式の間に３種類の同値関係を導入し、noose系に依存しないdoodle図式に固有な交換子関係式の間の関係、doodle図式のコボルディズム類に固有な交換子関係式の間の関係を明らかにした。また、FennとTaylerの論文では交換子関係式に対応するdoodle図式の存在を具体的に構成していなかったが、我々は明確なアルゴリズムとして構成法を与えた。
チャートとフォームを用いた低次元トポロジーの研究から派生して、圏論的な観点での代数構造を図式を用いて表す方法について研究を行なった。古典次元のブレイドや２次元ブレイドは適当な圏を用いてこの枠組みに組み込まれることを確認した。３次元空間内に埋め込まれた曲面、４次元空間内に埋め込まれた曲面なども、ある高次の圏の図式を用いて表すことができる。
2019年5月22日～24日に京都大学数理解析研究所で研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」を開催した。世話人は大槻知忠（分担者）と秋吉宏尚で、11件の講演と約70名（外国人4名を含む）の参加者あった。2019年11月29日～12月1日に大阪大学で研究集会「４次元トポロジー」を開催した。15件の講演と58名（外国人3名を含む）の参加者があった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初等な交換子関係式の間に３種類の同値関係を導入し、noose系に依存しないdoodle図式に固有な交換子関係式の間の関係、doodle図式のコボルディズム類に固有な交換子関係式の間の関係を明らかにしたことと、FennとTaylerの先行研究の論文では具体的に構成されていなかった交換子関係式に対応するdoodle図式を我々は明確なアルゴリズムとして構成法を与えたことの２点は着実な進展である。口頭発表は行ったが、論文は作成途中であり、次年度に継続となっている。
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| Strategy for Future Research Activity |
doodle図式と初等な初等な交換子関係式の関係に関する論文を完成させ、学術雑誌への投稿を行う。ホモトピー論的な観点での考察を今後行う必要がある。また、今回の成果は球面上のdoodle図式を対象としているが、種数の高い閉曲面の上のdoodle図式についても一般化できるかどうかの考察も行いたい。
圏論的な観点での代数構造を図式を用いた研究について、成果を論文、著書にまとめて発表を行う。
カンドルを用いた結び目、曲面結び目の不変量の研究では、アレクサンダー対を用いたカンドルの拡大とコサイクルについて具体例の構成を試みる。
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