2021 Fiscal Year Annual Research Report
Research on 4-dimensional topology from the viewpoint of graphics and quandle theory
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19H01788
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
鎌田 聖一 大阪大学, 理学研究科, 教授 (60254380)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00112524)
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00152819)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理学院, 教授 (20323777)
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
安井 弘一 大阪大学, 情報科学研究科, 准教授 (70547009)
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
早野 健太 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (20722606)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | トポロジー / 曲面結び目 / ブレイド / グラフィクス / カンドル / ４次元トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
カンドルの代数構造に積の演算を組み込んだ代数に関する研究を行なった。このような代数構造は演算の満たすべき公理として様々な候補が考えられる。３価頂点を持つブレイドの一般化の図式に関連した構造が、一つの候補となる。これについては彩色数などの不変量があるが、直接的で幾何的な解釈を与える問題は解決されていない。前年度のフロベニウス代数の公理の図式化では、高次元化として、平面上の３価グラフとその基本変形、３次元空間内の分岐曲面が自然に現れることを見たが、今年度は少し条件を緩めた時に、４次元空間内のブレイド状の分岐曲面を考えることが自然であることがわかった。これは、仮想交点を伴うブレイドが絡み目のモーション群を用いて解釈されることに対応していて、カンドルの余次元２の部分多様体の観点での解釈により近いものといえる。充填を導入することで、佐藤やRourkeによる仮想結び目の４次元空間内のリボントーラスによる解釈のような関係が期待される。
2021年5月19日-21日に京都大学数理解析研究所で研究集会「Intelligence of Low-dimensional Topology」をオンラインで開催した。世話人は大槻知忠（分担者）と秋吉宏尚で、11件の講演と約140名（外国人1名を含む）の参加者あった。2021年11月12日-14日に大阪大学で研究集会「４次元トポロジー」をオンラインで開催した。世話人は鎌田（代表者）、安井弘一（分担者）、松本堯生で、12件の講演と84名（外国人2名を含む）の参加者があった。2021年11月25日-26日に大阪市立大学で研究集会「カンドルと対称空間」をオンラインで開催した。世話人に鎌田、大城佳奈子（分担者）が含まれ、7件の講演があった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度にフロベニウス代数の公理の図式化からある高次の圏を構成して、３次元空間内の分岐曲面の基本変形が実現されることがわかった。これは局所的な現象を捉えたものであった。今年度は、ブレイドの形状という制限を置いているが、より大域的な現象を捉えて、４次元空間内の分岐曲面との関連がわかってきた。ブレイド状の４次元空間内の分岐曲面については、仮想結び目の４次元空間内のリボントーラスによる解釈やブレイドの自明絡み目のモーション群のような関係が期待されるが、これから研究を進める必要があり、次年度に継続される。
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| Strategy for Future Research Activity |
４次元空間内のブレイド状の分岐曲面は、新しい研究対象であるためわからないことが多くある。仮想結び目の４次元空間内のリボントーラスによる解釈やブレイドの自明絡み目のモーション群のような関係が期待されるので、その研究を行いたい。ブレイド状ではない場合には、充填された分岐リボントーラスのような概念を導入する必要がある。分岐を伴う３次元多様体を４次元空間へはめ込む研究は前例がなく、基礎から構築していく必要がある。
doodle図式と初等交換子関係式の関係を種数の高い閉曲面に一般化する研究も継続する。
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