2020 Fiscal Year Annual Research Report
Limit theorems for diffusions, Levy processes and their variants with their applications
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19H01791
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
矢野 孝次 京都大学, 理学研究科, 准教授 (80467646)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
山崎 和俊 関西大学, システム理工学部, 准教授 (50554937)
林 正史 琉球大学, 理学部, 准教授 (90532549)
矢野 裕子 京都産業大学, 理学部, 教授 (10337462)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 確率過程論 / 極限定理 / 拡散過程 / レヴィ過程 / 周遊理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化逆正弦法則の発展的問題として，当時院生の山戸と共同で跳入拡散過程の正側滞在時間に対する揺らぎ極限定理の問題に取り組んできた．零再帰的な場合はランペルティの一般化逆正弦法則が成立するが，正再帰的な場合は極限が退化する．本研究では，退化の様子を詳しく調べるため，揺らぎのスケール極限を，跳入が小さい場合に考察した．その結果，スペクトル片側安定過程の一次結合によって揺らぎ極限を表現することに成功した．その際，クレイン・小谷理論を援用して修正ノイマン境界条件の固有関数を新しく導入し，これを用いた．この結果をまとめた論文が学術雑誌Journal of Functional Analysisに掲載された．
レヴィの逆正弦法則の発展的問題として，秋元(東京理科大)，当時院生の世良，当時院生の山戸と共同で，エイジング逆正弦法則の問題に取り組んだ．原点出発ブラウン運動の初期時刻からの正側滞在時間の分布は逆正弦分布に従うが，少し時間が経ってから観測すると分布の形が崩れる．本研究では，正側滞在時間の分布密度が受ける開始時間と観測時間の定量的な影響を，端点の漸近挙動において明らかにした．この結果をまとめた論文が学術雑誌Physical Review Eに掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
跳入拡散過程の正側滞在時間の研究で得た揺らぎ極限定理の結果は当初の期待に近いものであったが，その際に道具として開発して用いた修正ノイマン境界条件の固有関数は有用なもので，今後の研究のさらなる発展に繋がる．エイジング逆正弦法則の研究では，一般化逆正弦法則の新しい側面として興味深い結果であり，さらなる理論的展開が期待される．以上のことから，本研究はおおむね順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
原点出発の安定過程の正側滞在時間に対し，エイジング逆正弦法則を調べたい．安定過程の正側滞在時間はベータ分布に従うことが知られており，拡散過程の場合とは異なる様相を呈する．この場合に，観測開始時刻を遅らせたことによる定量的な影響を，端点の漸近挙動において明らかにしたい．
また，跳入レヴィ過程の正側滞在時間に対する一般化逆正弦法則および揺らぎ極限定理を調べたい．零再帰的な場合は，跳入を持たなければ正側滞在時間の極限分布はベータ分布となるが，跳入を持つ場合も同様と考えられる．一方，正再帰的な場合は正側滞在時間の極限は退化するが，その揺らぎ極限を調べて拡散過程の結果と比較することは興味深い問題である．
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