2019 Fiscal Year Annual Research Report
Analysis of discrete Integrable systems by probability theory based on Pitman's transformation
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19H01792
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
辻本 諭 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (60287977)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐々田 槙子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (00609042)
加藤 毅 京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)
Croydon David 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (50824182)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / 確率論 / Pitman変換 / 箱玉系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は本研究課題の目的を実現するため，主に個別の研究項目ごとに研究を進めてきた．当初は，年度後半から研究組織内の打ち合わせを密にすること予定していたが，相互に密接な関連性を有する個別の研究項目を，決定論及び確率論のそれぞれ観点から次にあげる項目について議論してきた．まず，「決定論的力学系の観点からの研究項目」としては，ピットマン変換と離散可積分系，逆超離散について，様々な提案がなされている箱玉系の一般化や拡張に対して，ピットマン変換及びその一般化との関係に調べた．さらに，R 上の箱玉系やその逆超離散から得られるシステムと戸田格子から得られる超離散系との関係を明らかにした．これにより，R上の箱玉系の線形化手法などについて調べた。また，有限オートマトンの観点から導入されたソリトンオートマトンに関しては，その後の確率論的手法の適用に備え，ピットマン変換との関係だけでなく，無限系への拡張などの理論的な整備をすすめている．また，「確率論の観点からの研究項目」不変測度：無限系に拡張された箱玉系，離散 KdV 格子などの各可積分系モデルに対して，その不変測度を特徴付けてきた．特に，独立同分布な不変測度が存在することが箱玉系，離散 KdV 格子などに共通の性質であることを明らかにした．これらの離散可積分系の性質に関する普遍性を部分的に明らかにすることができた．また，一般の不変測度に対してエルゴード性や平行移動不変性の有無，長距離相関の有無について調べた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
決定論的な力学系である古典可積分系に対して、確率論を用いた新しい解析手法についてある程度すすめることができた．ここでは、箱玉系をはじめとす る離散時空間上の可積分系に対して、確率論における Pitman 変換の観点を導入し、ランダムな初期状態の振舞いを考えることで、確率論の観点から可積分系の多彩な性質を明らかにしてきた。特にR上の箱玉系と戸田格子方程式の関係性について明らかにすることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
決定論的力学系の観点からの研究項目として様々な箱玉系の一般化に対して線形化手法を開発するなど確率論の解析手法への糸口を求めていくと同時に確率論の観点からの様々な研究項目について研究をすすめていく．
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