2019 Fiscal Year Annual Research Report
Stochastic analysis for phase transition in particle systems with an infinite number of particles
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19H01793
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
種村 秀紀 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40217162)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
竹居 正登 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 准教授 (60460789)
今村 卓史 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (70538280)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 無限粒子系 / 無限次元確率微分方程式 / ランダム行列 / 生物モデル / 相転移 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究期間中、無限粒子系を表す無限次元確率微分方程式の強解の存在と一意性に関する研究において進展をみた。これまでの研究により一意性が成り立つための十分条件として末尾事象の一意性と各粒子の爆発が起こらないという条件に加えて、IFC ( an infinite system of finite-dimensional SDEs with consistency ) と呼ばれる両立条件を導入した。この条件は、与えられた解が表す無限粒子系のうち有限個の粒子に着目して、その他の粒子を外部環境としたランダムな環境のもとでの有限次元確率微分方程式を考えたとき、その微分方程式の一意性が成り立つという条件である。これまでの研究では、この条件にディリクレ形式理論に基づく技法を用いたが、長田氏（九州大学）、河本陽介氏（福岡歯科大）との共同研究により、ディリクレ形式理論を用いることなく、確率微分方程式による解析により導くことが出来ることを示した。この結果により、扱う無限粒子系の定常性、平衡性などの条件を除くことが可能になり、非平衡系に対して、一意性の理論が展開できることになる。得られた結果は、数学会欧文誌 (JMSJ) に掲載予定である。
Rahul Roy 氏（インド統計研究所）との共同研究により、多種類の遺伝子をもつ生物系を表す確率模型を提案し、パラメーターの選び方により、粒子の死滅と繁殖に加えて、繁殖の場合は遺伝子の種類に関する相転移が起こることを示した。得られた結果は、アーカイブ (arXiv:1909.09759) に投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
無限粒子系の研究は平衡系と非平衡系に大きくわけることができるが、解析の困難さと手法の困難さが大きく異なる。本研究期間中に非平衡系へ適用が可能である手法の一例を開発することができ、これからの大きな発展が期待できる。
本年度研究を行った生物モデルは、相転移が存在する解析ができる例である。これからさらなる解析が期待でき、応用面でも発展性がある。
これらのことから、おおむね順調に進展している、と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
非平衡系無限粒子系の解析としては、本年度に用いた手法を用いて発展させることが大いに期待できる。定常系であるが平衡系でない例など、これまで興味が持たれているが解析できていない例を調べる。
本年度研究を行った生物モデルを細かく解析し、遺伝子の種類に関する精査な結果を導くために、関係資料の整理を行う。
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Research Products
(2 results)
