2022 Fiscal Year Annual Research Report
Stochastic analysis for phase transition in particle systems with an infinite number of particles
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19H01793
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
種村 秀紀 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (40217162)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
竹居 正登 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (60460789)
今村 卓史 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (70538280)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 無限粒子系 / ランダム行列 / 確率微分方程式 / 相転移 / 浸透モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
相互作用をもつ無限粒子系の確率微分方程式についての研究を行っている。当該研究期間中に、ブラウン無限剛体球系に対して、確率微分方程式の解の存在と一意性等を示した。剛体球系はハードコア相互作用をもつ系とみなすことができるが、ハードコア相互作用により、配置空間の変更、反射を表す局所時間項の存在、などの問題点が生じる。これらの問題点を連続浸透模型でのクラスターサイズの評価等を用いて解決をした。
ソフトエッジ型極限の方程式（Airy型無限粒子系）の導出のためには、エルミート多項式の精密な評価が必要である。Deift達の漸近評価を適用することにより、Airy点過程に対する相関関数等の極めて精密な一様な評価を導き、有限粒子系から無限粒子系への収束を示した。（長田氏との共同研究）
分担者の竹居氏は、Bernoulli型ファーストパッセージパーコレーション問題において、極限形状の比較定理を証明した。（久保田氏との共同研究）また、elephant random walkで劣臨界的・臨界的な場合にウォーカーの位置に関する中心極限定理におけるモーメント収束の精密な漸近挙動を求め、記憶の強さを表すパラメータをpとするとp=1/2を境にある種の相転移が起こることを明らかにした。（大城氏、林氏との共同研究）
分担者の今村氏は、具体的な関連性は明らかにされて来なかった qWhittaker測度と何らかの行列式点過程との関連性をqWhittaker測度に従うヤング図形の第一成分と周期的Schur測度と呼ばれる行列式点過程に従うヤング図形の第一成分との間の関係式を得ることにより明らかにした。（Macciconi氏と笹本氏との共同研究）
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
長距離相互作用をもつ無限粒子系を表す確率過程の構成と対応する確率微分方程式の解の存在と一意性について、拡散型、飛躍型にくわえて、剛体球の系に対して一般化をすることに成功している。また、相転移のある系の一例であるファーストパッセージパーコレーション、elephant random walk についての研究についても進展している。
さらに、相互作用確率粒子系や界面成長モデルに現れるクラスである1次元Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)普遍クラスの研究についても進展をしており、性質の良い代数構造を利用して重要な観測量の分布関数や相関関数等の明示的な公式を導いている。
以上のことから、本研究課題は順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
長距離相互作用系については、近年、クーロンポテンシャルについての研究が Serfaty等によって著しい進展がすすんでいる。これらの結果と我々の研究との関連を精査することにより、今後の研究の推進をはかる。
Elephant random walk についても、近年の進展が著しく、Laulin等により多次元への拡張の結果が得られている。彼らの手法を分析し、我々の研究への利用を試みながら今後の研究の推進をはかる。
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