2019 Fiscal Year Annual Research Report
Global structure of solutions for differential equations of singular perturbation type and exact WKB analysis
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19H01794
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
竹井 義次 同志社大学, 理工学部, 教授 (00212019)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / パンルヴェ方程式 / リッカチ方程式 / インスタントン解 / ボレル総和法 / 仮想的変わり点 / 非遺伝性変わり点 / ストークス幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．パンルヴェ方程式に対する大域的な漸近解析を展開する際に重要な役割を演じるのが、インスタントン解と呼ばれる形式解である。本研究課題の主要な目的の一つは、バーコフ標準形による楕円函数への変換を利用してこのインスタントン解に解析的な意味付けを与えることである。そして、それを達成するための最も重要なステップが、楕円函数への変換級数のボレル総和可能性の検証である。それを踏まえて、本年度は、特にそのプロトタイプであるリッカチ方程式の場合の線型化問題に対する変換級数のボレル総和可能性を考察した。その結果、リッカチ方程式の場合は、変換級数がリッカチ方程式の特異摂動解を用いて明示的に表されること、さらにその表示から変換級数のボレル総和可能性が直ちに従うことが明らかになった。
また、このインスタントン解の意味付けと関連して、神本晋吾氏（広島大学）とEcalleによるmould展開を用いた微分方程式の形式解の構成について突っ込んだ議論を行った。上記の目的に直接に結び付く訳ではないが、インスタントン解の構成をより広い視点から見直すことができた。
２．一方、廣瀬三平氏、佐々木真二氏（共に芝浦工業大学）、河合隆裕氏（京都大学）とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究については、近いうちにスプリンガー社からこれまでの研究成果をまとめた英文の短い著書を出すことが決まり、その準備に取りかかった。Pearcey系とその変数をさらに増やしたA_4型の超幾何系、及び(1,4)型の2変数超幾何系を題材として、「非遺伝性の二重変わり点」とそれに付随して現れるストークス幾何のいろいろなタイプの退化を論じることが主なテーマである。この準備と関連して、非遺伝性の二重変わり点に伴う周期とストークス幾何の退化との関係について、いくつかの典型例の解析を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の最大の目的の一つは、「バーコフ標準形による楕円函数への変換を利用してパンルヴェ方程式のインスタントン解に解析的な意味付けを与える」という新しいアプローチを数学的な理論として実現することである。その意味では、パンルヴェ方程式のプロトタイプと考えられるリッカチ方程式に対して、それを線型化する変換級数のボレル総和可能性の証明に成功したことは、非常に大きな進歩であると言うことができる。実は、本務における突発的な事情（８人という小さい学科の構成員の一人が脳梗塞と心筋梗塞を併発し、長期療養を余儀なくされた）によって本年度は研究のための時間がほとんど確保できなかったのだが、このリッカチ方程式に対する変換級数のボレル総和可能性の証明に成功したという点で、一応「おおむね順調に進展している」と判断して構わないと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
リッカチ方程式に対して本年度に得られた知見を踏まえ、いよいよ次は主たる対象であるパンルヴェ方程式のインスタントン解の解析的意味付けについて考察する。リッカチ方程式の場合にボレル総和可能性の証明が成功したのは、変換級数がリッカチ方程式の特異摂動解を用いて明示的に表されたからである。パンルヴェ特殊函数から楕円函数への変換級数についても同様の構造が存在するのかどうかを検証しながら、パンルヴェ方程式のインスタントン解のボレル総和法による解析的意味付けの確立に取り組む。
一方、線型のホロノミック系の完全WKB解析に関しては、これまでの研究成果をまとめる著書を準備する中で、非遺伝性の二重変わり点がもたらす微分方程式のスペクトル曲線の新たな周期について、それがどのような（パラメータに関する）ストークス現象を引き起こすのかという問題を具体例を通じて探っていきたい。
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