2020 Fiscal Year Annual Research Report
Global structure of solutions for differential equations of singular perturbation type and exact WKB analysis
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19H01794
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
竹井 義次 同志社大学, 理工学部, 教授 (00212019)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / ホロノミック系 / 仮想的変わり点 / 差分方程式 / ボロス係数 / 時間依存シュレディンガー方程式 / 確率微分方程式 / ファインマン・カッツの定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下の「現在までの達成度」の欄でも述べるが、本年度は新型コロナウイルス感染症の影響で共同研究の進展に遅れが生じ、研究実績も予想通りにはあげられなかった。そうした状況の中で、廣瀬三平氏、佐々木真二氏（共に芝浦工業大学）、河合隆裕氏（京都大学）とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究については、シュプリンガー社から刊行予定の共著書の完成に向けて、これまでの研究成果の取りまとめを可能な範囲で行った。来年度は共著書の執筆に本格的に取りかかる予定である。
また、ホロノミック系に対する完全WKB解析をより一般の方程式系に拡張するべく、竹井優美子氏（関西学院大学）と差分方程式に対する完全WKB解析の共同研究を開始した。差分方程式の場合は、微小差分を考えることが微分方程式の場合の特異摂動を考えることに相当する。微小差分の差分方程式に対するWKB型の形式解の存在や、ウェーバー方程式のWKB解のボレル変換を特徴づける微分差分方程式系、及びウェーバー方程式のボロス係数の満たす差分方程式の導出等の諸結果が得られた。さらに、大学院生の山下恭平君との共同研究では、プランク定数を含んだある特別な形をした時間依存シュレディンガー方程式に対して、その初期値問題のWKB型の形式解の解析的な意味付けが、ファインマン・カッツの定理を介して対応する確率微分方程式の解を利用して得られるという新たな知見が見出された。この知見が確かめられているのは、現在のところ複素熱方程式や確率微分方程式がランジュバン方程式となるごく特別な場合に限られるが、この結果がより一般の時間依存シュレディンガー方程式に対して確立されれば、完全WKB解析と確率微分方程式の思わぬ関連性が明らかになると期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
本年度は、新型コロナウイルス感染症の影響で、研究計画の達成に大幅な遅れが生じた。例えば、多くの学会や研究集会が中止あるいは延期されたために昨年度までに得られた研究成果を発表する機会が失われ、また出張が制限されたために共同研究も思うようには進まなかった。さらに、オンライン授業の準備に忙殺され研究に割ける時間も大幅に減少することとなった。こうした状況の中で、本研究の最大の目的である「バーコフ標準形による楕円函数への変換を利用してパンルヴェ方程式のインスタントン解に解析的な意味付けを与える」というテーマについてもほとんど研究の進展が見られず、その意味では残念ながら「当初の計画より遅れている」と判断せざるを得ない。
ただ、差分方程式の完全WKB解析に関する共同研究や、大学院生と共同で始めた完全WKB解析と確率微分方程式の関連性に関する研究では、思ってもいなかった新しい知見が得られた。次年度以降、こうした新しい研究の展開についても、時間の許す限りより深く追求していきたいと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の主要な目的である、パンルヴェ方程式のインスタントン解の解析的意味付け、及び線型のホロノミック系の完全WKB解析については、これまでに得られた知見を踏まえ今後も研究を進める。前者の問題については、昨年度に得られたリッカチ方程式に関する結果がどの程度までパンルヴェ方程式に対しても有効かどうかの検証が鍵であり、また後者については、非遺伝性の二重変わり点に由来する微分方程式の新たな周期が引き起こす（パラメータに関する）ストークス現象を調べることが中心課題となると思われる。
さらに、差分方程式の完全WKB解析や、完全WKB解析と確率微分方程式の関連性に関する新しい研究の方向性についても、今後より深く追求していきたい。差分方程式の完全WKB解析については、具体的な差分方程式を論じることが一つの大きな課題であり、それと同時に、ボロス係数の解析との関連で、微分方程式と連立させた微分差分方程式系を考えることも重要である。また、完全WKB解析と確率微分方程式の関連性に関しては、本年度に見出された結果がより多くの方程式に対しても成立するかどうかを確かめるのが当面の課題である。今後は、こうした新たな研究の方向性についても時間をかけて育てていきたい。
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