2022 Fiscal Year Annual Research Report
Global structure of solutions for differential equations of singular perturbation type and exact WKB analysis
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19H01794
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
竹井 義次 同志社大学, 理工学部, 教授 (00212019)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / パンルヴェ方程式 / 単純極 / 微分差分方程式系 / 隣接関係式 / 時間依存シュレディンガー方程式 / 確率微分方程式 / ファインマン・カッツの定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
新型コロナウイルス感染症の影響が残る中、今年度はイギリス、フランス、オーストラリアに海外出張することができ、研究発表を行うと同時にR. Schaefke氏やN. Joshi氏といった研究協力者との研究打合わせを再開した。まだ具体的な成果が得られる段階には至っていないが、例えばJoshi氏とはI型のパンルヴェ方程式の対称解についての共同研究を開始し、対称解がどのようなtransseries展開を持つかに関して部分的な結果を得ることができた。その他、国内の身近な研究協力者達との共同研究等において、本年度は以下のような研究成果が得られた。
まず、素粒子物理学に現れる或る微分方程式の固有値問題に対する紫垣孝洋氏（神戸大）の完全WKB解析的研究に関連する問題として、単純極のまわりでのWKB解（正確にはそのボレル和）と収束べき級数解の対応関係を考察し、合流操作を利用することで両者の間に成り立つ線形関係式を決定することに成功した。次に、ガウスの超幾何函数やその合流型が満たす微分差分方程式系（即ち、微分方程式と隣接関係に由来する差分方程式の連立系）の完全WKB解析に関する竹井優美子氏（茨城高専）との共同研究では、問題の微分差分方程式系のボレル変換として得られる方程式系の解が、（合流型）超幾何函数の積分表示式を用いて構成できることをいくつかの場合に明らかにした。これは、この微分差分方程式系のWKB解のボレル変換の構造決定に向けての大きな足掛かりとなる結果である。さらに、ファインマン・カッツの定理を介した時間依存シュレディンガー方程式に対する初期値問題のWKB型の形式解と確率微分方程式の解の対応という問題に対しても、大学院生の百田友輝君が、私の指導の下に、シュレディンガー方程式がポテンシャル項を含む場合や係数函数が２次式となる場合にもやはり解の間の対応関係が成立することを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルス感染症の流行がようやく下火になり海外出張も再開することができたが、海外出張ができなかった２年間のブランクの影響は大きく、海外の研究者達との研究協力は順調には進まなかった。特に、本来の研究目的であった「バーコフ標準形による楕円函数への変換を利用したパンルヴェ方程式のインスタントン解の解析的な意味付け」については、残念ながら本年度も大きな研究の進展は見られなかった。また、新たな方向性をもつ研究として一昨年度から始めた差分方程式の完全WKB解析というテーマについても、ベッセル函数が満たす差分方程式以外の具体例の解析が十分にできず、やや停滞していると言わざるを得ない。
その一方で、超幾何函数やその合流型が満たす微分差分方程式系に関する竹井優美子氏との共同研究や、大学院生の協力のもとに進めている時間依存シュレディンガー方程式に対する初期値問題のWKB型の形式解と確率微分方程式の解の対応を考察する問題、さらに紫垣孝洋氏の研究に端を発する単純極の周りでのWKB解と収束べき級数解を比較する問題については、いろいろと新しい知見が得られた。また、廣瀬三平氏、佐々木真二氏（共に芝浦工大）とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究についても、成果をまとめた共著書の完成に向けて、現在順調に執筆が進んでいる。
以上を総合的に判断すると、現在までの達成度は「当初の予定よりはやや遅れている」という程度であると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
新たな方向性をもつ研究として開始した超幾何関数に関する差分方程式の完全WKB解析については、積分表示式との関連など、思いもよらなかった新しい知見がいくつか得られつつある。ガウスの超幾何関数やウェーバー函数の場合等、より多くの具体例を調べると同時に、今後は差分方程式と微分方程式の連立系という視点をより重視し、引き続き竹井優美子氏との共同研究という形で差分方程式を用いたボロス係数の系統だった解析等の問題に取り組みたい。また、ファインマン・カッツの定理を介した時間依存シュレディンガー方程式に対する初期値問題のWKB型の形式解と確率微分方程式の解の対応についても、この対応関係がどの程度一般の方程式に対して成立するかどうかを確かめるのは非常に興味深い今後の課題である。
以上の研究に加えて、本来の研究目的であったパンルヴェ方程式のインスタントン解の解析的意味付けの問題についても、国内外の研究協力者との研究打合せの活性化を図りながら、あらためて今後の発展の手がかりを探る努力を続ける。さらに、廣瀬三平氏や佐々木真二氏等との線型のホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究については、スプリンガー社から刊行予定の共著書の完成を目指して、内容の取りまとめと執筆活動により一層精力的に取り組んでいきたい。
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