2019 Fiscal Year Annual Research Report
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19H01795
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
久保 英夫 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50283346)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
津田谷 公利 弘前大学, 理工学研究科, 教授 (60250411)
加藤 正和 室蘭工業大学, 大学院工学研究科, 講師 (30526679)
若狭 恭平 釧路工業高等専門学校, 創造工学科, 講師 (60783404)
Yordanov Borislav 北海道大学, 高等教育推進機構, 助教 (50839199)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 双曲型方程式 / 非線型摂動 / 弱零条件 / 大域挙動 / 漸近解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、アインシュタイン方程式をプロトタイプとする強双曲型方程式に対する
非線型摂動について、その安定性を弱零条件として特徴付けることである。その目的を達成するために、当該年度においては、アインシュタイン方程式を初期値問題として扱うための枠組みついての検討を詳細に亘って行った。具体的には、アインシュタイン方程式を扱う座標系を時間的座標軸が常に時間的であるように選ぶことによって得られる3+1形式に着目した。この定式化は数値相対論の分野で標準的に用いられているものである。まず、時空を空間的超平面によってスライスし、ラプス関数とシフトベクトルにより座標系を張る。アインシュタイン方程式の共変性に由来するゲージに関する自由度により、この様な座標系を採用しても一般性を失うことはない。この座標系においてローレンツ計量の3+1分解を行い、この分解に従ってアインシュタイン方程式を書き下すと、時間に依存しない拘束条件（ハミルトン拘束条件、運動量拘束条件）と時間発展する空間的超曲面の外的曲率に関する双曲型の方程式が得られる。これらの方程式系はADM形式と呼ばれるが、時間発展する方程式を導く際に、アインシュタイン・テンソルを表に出さず、リッチ・テンソルで表示されたアインシュタイン方程式を用いると数学的に扱いやすくなることが知られている。しかし、このADM形式において得られる方程式系は弱双曲型であり、初期値の微小摂動に関して時間大域的な安定性に問題があった。その困難を克服するために導入されたのがBSSN形式であり、実際、方程式系は強双曲型となり、アダマールの意味で適切となる。こうした理由から、我々はアインシュタイン方程式のBSSN形式を解析の対象とした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
これまで、アインシュタイン方程式を初期値問題として扱うための枠組みついての検討を詳細に亘って行ってきた。特に、数値相対論の分野で標準的に用いられているアインシュタイン方程式の3+1形式に着目して研究を進めている。具体的には、時間軸に対応するラプス関数と空間座標に対応するシフトベクトルにより座標系を張り、時間-時間方向・時間-空間方向・空間-空間方向への射影を考えることにより、ハミルトン拘束条件、運動量拘束条件および時間発展する空間的超曲面の外的曲率に関する双曲型の方程式を導く。これらの方程式系はADM形式と呼ばれる基本的なものだが、これを一階の方程式系に書き直してみると、主要部を対角化することができない弱双曲型の方程式系であることがわかる。
そのため、初期値の微小摂動が時間大域的には不安定性を導く可能性があり、数値シミュレーションに載せるには問題がある。解析的には、対角化可能でなくとも扱うことはできるが、固有空間の扱いが煩雑になる点は否めない。そうした困難を克服するために数値相対論の分野では、人為的に拘束条件を増やし、ダミーの変数を導入することによって、対象となる発展方程式の主要部が対角化可能、つまり強双曲型となるような定式化が用いられている。もちろん、この過程で導入される拘束条件は真の解に対しては時間に寄らず満たされるものでなくてはいけない。このようにして導かれたのがBSSN形式である。未知関数の数は多くなるが、一階の方程式系に直したときにその主要部が対角化可能であることは、解の精密な挙動を捉える上では有効であると考えられる。こうした理由から、我々はアインシュタイン方程式のBSSN形式を解析の対象に据え、その解析を進めることにより3+1形式についての理解を深めることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究により、アインシュタイン方程式のBSSN形式における発展方程式は強双曲型となることが認識できた。そこで、一般の強双曲型方程式に対する非線型摂動を次の研究対象とする。その安定性を弱零条件として特徴付けるために方程式の解の成分をその大域挙動を解析しやすい形に分解することを考える。実際、音波等の伝播を表す波動方程式の場合、それを一階の方程式系に書き換えたときの主要部の固有値分解に附随する従属変数の置き換えにより、速く時間減衰する解の成分と相対的に遅く減衰する成分を見出すことができる。更に、その時間減衰の遅い成分が解の主要部へ及ぼす影響が強いことから、ゆっくり減衰する成分に着目することにより、元の方程式系の本質的な部分を表現する偏微分方程式系ーReduced Systemーを導出することができる。同時に、主要部に附随する解の分解は特性曲面と関係する零枠と呼ばれる解の減衰度を区別するのに都合の良い座標系をも示唆する。その座標系を用いて非線型項を書き直すと、解の時間減衰と密接に関連する非線型項の代数的な構造をあぶりだせる。従って、一般の強双曲型方程式系においても主要部の解析を基礎として適切な零枠を定め、そのReduced Systemを導出することにより弱零条件を定式化することができると考えられる。
そこで、まずはBSSN形式において、時間発展に関する方程式の中に内在する代数的な構造を抽出することが、弱零条件の定式化に深く関係するものと予想される。そこで、アインシュタイン方程式のシュバルツシルド解などの典型的な計量を考え、どの様な仕組みによってアインシュタイン方程式の時間発展部分が大域的に可解となるのか、更には、非線型項の中のどの様な代数的構造が大域可解性に寄与しているのかを詳細に検証する。
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