2020 Fiscal Year Annual Research Report
優臨界・臨界・劣臨界楕円型方程式の解構造の総合的研究
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19H01797
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90374743)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458)
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非線形楕円型方程式 / 非線形放物型方程式 / 優臨界 / 劣臨界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 宮本は，研究分担者の内藤と共に（本研究課題の主要テーマの一つである）優臨界方程式の球対称特異解の基本的性質の証明（下記の(2)で説明）を完成させた．また，この研究の応用として（MEMS方程式などの）特異非線形項を持つ半線形または準線形楕円型方程式の退化球対称解の基本的性質を研究し，優臨界方程式の特異解と同種の定理が成り立つことを示した．さらに，別の応用としてHardy型の特異ポテンシャル項と優臨界純粋冪非線形項を持つ斉次準線形楕円型方程式の２つの球対称解の交点数を求めた．劣臨界方程式に関しては，畳み込み積分を持つ楕円型不等式（系）の正値解の存在と非存在に関する定理（非存在については対応する楕円型方程式（系）のLiouville型定理となる）が得られた．これら全てのテーマを合わせて，５篇の論文を執筆した．
(2) 内藤は，優Sobolev 臨界非線形項を持つ楕円型方程式において，非線形項が冪に摂動が加わる場合，あるいは指数関数に摂動が加わる場合，それぞれの場合に特異解の存在，一意性，漸近的性質を示した．とくにPohozaev 型恒等式および先験的評価を利用することにより，解の発散のオーダーを指定することなく，解の存在と漸近的性質を同時に示すことができた．
(3) 生駒は，分数冪ラプラシアンとHardy-Henon型非線形反応項を伴う方程式について解析を行った．得られた成果は，層構造を成す安定解の存在を示し，特殊な状況では，Joseph-Lundgren指数と呼ばれる指数の多重性(少なくとも2つ存在すること)を示した．またJoseph-Lundgren劣臨界と優臨界の構造がラプラシアンの場合とは異なる状況も同時に発見した．
(4) 石毛は，放物型方程式の解の形状に関する研究を行なった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1-1) [優臨界方程式について] これまでの研究の歴史で，優臨界方程式の正値球対称解の構造は，特異球対称解が重要な役割を担っていることが明らかになっている．そこで，その基本的性質（存在・一意性・古典解による収束）について本研究課題では，非線形項の主要部が冪の場合と指数関数の場合に証明した．2020年度はそれを一般の非線形項に拡張することに成功した（これが今年度一番大きな進展であった）．この研究は，研究分担者の内藤雄基氏（広島大学）との共同研究に基づく．
(1-2) また，(1-1)の予期しなかった応用として，MEMS方程式などの特異非線形項を持つ半線形・準線形方程式の球対称解について，（上記の優臨界方程式の特異解に相当する解である）退化解の基本的性質（存在・一意性・古典解による収束）を示した．特異非線形項を持つ他の半線形方程式の球対称解の構造の研究と合わせて，２篇の論文を執筆した．この研究は研究協力者のM. Ghergu氏（アイルランド）との共同研究に基づく．さらに，別の応用としてHardy型の特異ポテンシャル項と優臨界冪型非線形項を持つ準線形楕円型方程式の球対称解の構造を解明し，１篇の論文を執筆した．この研究は共同研究者の池田光一氏，西垣啓佑氏（東大数理）との共同研究に基づく．
(2) [劣臨界方程式について] 劣臨界方程式の研究に関して大きな進展があった．畳み込み積分を持つ楕円型不等式（系）に関して正値解の存在と非存在に関する定理（非存在はLiouville型定理）が得られ，2篇の論文を執筆した．この研究は 研究協力者のM. Ghergu氏（アイルランド）, Z. Liu氏（中国）, V. Moroz（イギリス）との共同研究に基づく.
(3) [臨界方程式について] 臨界方程式については進展がなかった．
これらを総合して「おおむね順調に進展している．」とした．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) [優臨界方程式について] （非線形項の主要部が冪や指数関数とは限らない）一般の非線形項を持つ半線形方程式に対して，特異球対称解の基本的性質が証明できたので，これまでの研究結果を論文としてまとめることが優先度が高い課題である．特異球対称解の基本的性質は明らかにされたので，今後の方向としては，解の分離（separation）に関する非線形項のみたす十分条件の研究である．また，長期的な課題としては優臨界方程式の球対称解の取りうる分岐図式の分類の完成である．
(2) [劣臨界方程式について] 劣臨界方程式については本研究課題で開発した手法を他の方程式に適用できないか調査中である．また，変分法以外の実解析的手法で楕円型方程式の詳しい性質を研究できないか検討中である．
(3) [臨界方程式について] 臨界方程式については問題の発見が大きな課題である．
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