2023 Fiscal Year Annual Research Report
優臨界・臨界・劣臨界楕円型方程式の解構造の総合的研究
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19H01797
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
宮本 安人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90374743)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458)
生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342)
石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ソボレフ優臨界 / ジョセフ・ルンドグレン指数 / 球対称特異解 / モース指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 優臨界楕円型方程式の解構造：本研究課題の中心テーマである優臨界楕円型方程式の解構造については，Dirichlet問題については当初予定していた成果が得られた．具体的には，空間3次元以上の球領域における優臨界半線形楕円型方程式のDirichlet問題の正値解を考え「その取りうる分岐図式の形状を明らかにし分類する」という大きな目標を掲げていた．これまでの研究から正値な特異球対称解が重要な役割を果たすことが明らかになっていた．その性質が大きく変わるジョセフ・ルンドグレン指数より小さい場合は，先行研究で詳しく調べられているが，大きい場合が不十分であった．本年度は内藤雄基氏との共同研究により，増大度の指数に適切な仮定を課すと特異解が安定となり，これから得られる帰結として，対応する分岐図式が折り返し点を持たないことを証明した．具体例として幾つかのモデルケースでは11次元以上で古典的Gel'fand問題と同種の結果が得られることを証明した．これらの成果をまとめて論文を執筆し投稿した．また，9月に日本数学会主催で開かれた日韓共同研究集会（MSJ-KMS Joint Meeting 2023）と，2023年日本数学会実函数論分科会（特別講演）で，これらの研究成果を発表した．
(2) 臨界・劣臨界楕円型方程式：解のモース指数の正確な値や，上下からの評価を求めるという研究テーマに興味を持ち研究を進めている．本年度は新たな問題に取り組み大きな成果が得られた．それらを論文にまとめた．
(3) 放物型方程式：放物型方程式の解が存在するためには「初期関数が特異性を持ったとしても，どの程度弱いか？」が重要な問題である．解の存在と非存在を分けるギリギリの特異性を見極める研究であり，多くの場合には特異定常解がそれになることが経験上知られている．この問題に対して今年度は大きな進展がなかった．
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| Research Progress Status |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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