Study of solution structures of elliptic equations: supercritical, critical and subcritocal cases

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19H01797
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• Allocation Type: Single-year Grants
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: Miyamoto Yasuhito 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90374743)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458) ; 生駒 典久 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (50728342) ; 石毛 和弘 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90272020)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ソボレフ優臨界 / ジョセフ・ルンドグレン指数 / 球対称特異解 / モース指数 / 分岐図式

Outline of Final Research Achievements

Solution structures, which are bifurcation diagrams, of supercritical elliptic Dirichlet problem are studied. It is known that standard variational approaches, which are used to study subcritical problems, are not applicable to supercritical problems. A large part of a solution structure was not known. In this study we consider positive solutions of elliptic Dirichlet problem when the domain is a ball. We show that a positive radial singular solution of the supercritical elliptic equation plays a crucial role in the study of bifurcation diagrams. We prove the existence and uniqueness of a positive radial singular solution and obtain an asymptotic expansion of the singular solution near the singular point. We apply our theory to several interesting elliptic equations and classify the bifurcation diagrams.

Free Research Field

非線形偏微分方程式

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ソボレフ優臨界の増大度を持つ楕円型方程式について，２つの古典的な例（Gel'fand問題とジョセフ・ルンドグレンの問題）はよく知られていた．しかし，その他の方程式については，いくつかの限られた方程式についてのみ断片的にしか知られていなかった．
この研究により，（今まで知られている例をすべて含む形で）大幅に一般化された非線形項において，球領域における正値解の分岐構造が明らかになった．特に，多くの非線形項で上記の2つの古典的な場合と定性的に同じ分岐図式となることを明らかにした．
この結果は球領域に限られるが，球領域ではない場合についても，研究の指針を与えるものと期待している．