2019 Fiscal Year Annual Research Report
Bifurcation and renormalization of real and complex dynamical systems
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19H01798
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
稲生 啓行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (00362434)
石井 豊 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20304727)
奥山 裕介 京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 教授 (00334954)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 力学系 / 分岐 / くりこみ / カオス / フラクタル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
宍倉は、David Marti Pete氏との共同研究で、Eremenko-Lyubich型超越関数の遊走領域のBishopの擬等角折り込みの構成を改良し、Eremenko-Lyubich型かつ有限位数の超越関数で振動的遊走領域をもつものを構成した。同氏とは複素1次元Arnold族のfinger状分岐集合についても研究した。これは、放物型パラメータの近傍のパラメータスライスで見られる現象であり、放物型分岐の理論が適用できる。Arnold族の基本的放物型パラメータからの分岐を解析するために、そこでのpre-Fatou座標を明示的に与え、その座標に誘導されるhorn mapも具体的に表示することができた。今後は、真のFatou座標との差の評価を行い、Fatou座標での移動パラメータとfingerとの関係を導き、その個数などの量的評価に結びつけていく。また、他の放物型パラメータでも適用できる評価を目指し、くりこみの理論の枠組みを適用することを目標とする。。
さらに、puzzle分割・parapuzzle分割を用いた複素力学系の分岐の研究については、Berger他のとの共同研究を開始し、Lattes族に関するReesの定理をこの方法で再証明することに取り組んでおり、具体的なpuzzle分割の定義や記号表現とその摂動に対する変化の様子を研究した。
稲生啓行は、無限回くりこみ可能な3次多項式の新しい例を構成することで，Mandelbrot集合の自己相似なコピーの無限個の共通部分が1点になる，という予想が3次多項式族に一般化できないことを示した。
奥山は、数論的力学系において、Lyapunov指数の近似や多項式系の有理関数内での特徴付け等について研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
宍倉は、Mart-Pete氏との共同研究で、Eremenko-Lyubichクラスで有限オーダーの遊走領域をもつ関数の構成に成功し、現在はArnold族の研究を進めている。稲生、石井、奥山のそれぞれの分野で成果を上げている。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在は、コロナ禍で共同研究がストップしているが、国際交流が再開次第、Mart-Pete氏との共同研究を継続する予定である。また、Arfeux氏との数論的力学系の樹木上の区分線形力学系からの構成問題についても共同研究として取り組む予定である。その他、近放物型くりこみに関して、必要な高いタイプの無理数に関する、数値計算を用いたよりよい評価も行っていく予定である。現段階では、予断を許さないが、可能になったら、複素力学系に関する国際研究集会を開き、研究交流、共同研究の場とするようにしていきたい。
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