2019 Fiscal Year Annual Research Report
臨界型変分問題における領域の幾何の影響-解空間大域構造とコンパクト性喪失機構-
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19H01800
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
石渡 通徳 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (30350458)
猪奥 倫左 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 准教授 (50624607)
加藤 信 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354)
橋詰 雅斗 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 特別研究員 (20836712)
佐野 めぐみ 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (70834935)
高津 飛鳥 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (90623554)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 臨界型変分問題 / コンパクト性の喪失 / 領域の幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、Sobolev 不等式、Hardy 不等式などの関数不等式の最良定数を定める最小化問題や Trudinger-Moser 不等式に由来する変分問題など、その近似解の列の相対コンパクト性がアプリオリには期待できない「臨界型変分問題」を取り扱い、解空間の大域的構造、及び近似解の列がコンパクト性を喪失する機序について研究することを目的としている。特に本研究課題では、変分問題の解空間（エネルギー汎関数の臨界点の集合）の大域的構造や近似解の列の非コンパクト性が、領域の境界の曲率や形状、滑らかさなどの微分幾何学的性質にどのように影響されるのかを定量的に解明することを目指す。より具体的には、以下の課題について新しく結果を得ることを目的とする。
(1) 種々の Trudinger-Moser 型不等式に付随する変分汎関数の臨界点集合の大域的構造と領域の微分幾何学的性質との相関、特に領域が凸な場合の最大化関数の一意性の成否
(2) 種々の Hardy 型不等式に付随する最小化問題の最小化列のコンパクト性喪失メカニズムと領域の幾何との相関
(3) 臨界変分構造を持つ種々の楕円型方程式に対する特異領域上での爆発解析
本年度はイタリアの共同研究者と強い異方性を持つ Finsler ラプラス作用素に対する Finsler Hardy 不等式を証明し、またトレース型 Finsler Hardy 不等式にも成果があった。また、一般領域上の臨界型 Hardy 不等式に関する研究に進展があり、不等式に現れる最良定数と領域の幾何との相関に関する理解が進んだ。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍の影響で、イタリア・ナポリ、ミラノなど海外在住の共同研究者との研究連絡が困難となり、一部、研究計画の推進に遅れがみられる。一方で、国内共同研究者との共同研究である制約条件付きベクトル場の Hardy 不等式や摂動型 Hardy 不等式の解析で進展があり、研究計画は順調に推移していると判断する。研究代表者の高橋は、2019年度中に研究論文4本の発表した。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究によって、ユークリッド空間の一般ノルムにより記述される Finsler ラプラシアンを主部に持つ Finsler Hardy 不等式、Finsler Trudinger-Moser 不等式など、異方性を持つ微分作用素に対する関数不等式について、劣臨界型と臨界型を結ぶ変換や距離型 Hardy 不等式など、基本的な結果を証明することができた。今後はこれら不等式に関わる最小化問題の研究や爆発解析、解の安定性への応用などが自然な研究の方向と思う。また、一般領域上での臨界型 Hardy 不等式と領域の幾何との関連に関する研究にも成果があり、領域の非正則性が不等式に現れる最良定数の達成（不）可能性とどのように関わるかの理解が進んだ。今後はグラフで表される領域の幾何と Hardy 不等式の最良定数とのより定量的な研究を進める予定である。
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