2022 Fiscal Year Final Research Report

The influence of domains on the variational problems of critical type: global structures of solution spaces and the mechanism of the loss of compactness

Research Project

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Project/Area Number	19H01800
Research Category	Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
Allocation Type	Single-year Grants
Section	一般
Review Section	Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
Research Institution	Osaka Metropolitan University (2022) Osaka City University (2019-2021)
Principal Investigator	Takahashi Futoshi 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	加藤信大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (10243354) 橋詰雅斗広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 助教 (20836712) 石渡通徳大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 教授 (30350458) 猪奥倫左東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607) 佐野めぐみ広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (70834935) 高津飛鳥東京都立大学, 理学研究科, 准教授 (90623554)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	臨界型変分問題 / 非コンパクト性 / 爆発解析 / Hardy 不等式 / Trudinger-Moser 不等式
Outline of Final Research Achievements	In this research project, we concern the variational problems of critical type, in which the relative compactness of approximating solutions does not hold a priori, and studied the global structure of solution spaces and the mechanism of loss of compactness of approximating sequences. In particular, we mainly treated variational problems related with Hardy and Trudinger-Moser inequalities and obtained novel results concerning the effect of domains (curvature, shape, smoothness, etc.) on the mechanism of loss of compactness. Also we studied Hardy-Leray inequalities for vector fields under differential constraints (curl-free, or solenoidal) and obtain new results.
Free Research Field	変分法
Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements	本研究課題では、臨界型変分問題の解空間の大域的構造やエネルギー汎関数の非コンパクト性が、領域の境界の曲率や領域の形状、滑らかさなどの微分幾何学的性質とどのように関係するのかを定量的に解明することを目的とした。臨界型変分問題の代表例である Hardy 不等式や Sobolev 不等式などの関数不等式の最良定数に関わる変分問題は、それら関数不等式が解析学の広範な分野で基本的道具として使用されていることを鑑みると、その重要性は論を俟たない。また、関数列の（非）コンパクト性という解析的性質と領域の幾何学的性質の相関の解明は、工学や数値解析などの分野でも重要であろう。