2022 Fiscal Year Annual Research Report

Super random matrix theory and topological invariants

Research Project

Project/Area Number	19H01813
Research Institution	Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University
Principal Investigator	氷上忍沖縄科学技術大学院大学, 数理理論物理学ユニット, 教授 (30093298)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2024-03-31
Keywords	超対称 / ランダム行列 / 特異点
Outline of Annual Research Achievements	ランダム行列理論は二次元共形場理論としてグロモフ・ウイッテン不変量を与える。このトポロジカル不変量は二次元ベス・ズミノ・ウイッテン模型で生成され、三次元のチャーン・サイモン　ゲージ理論と同等であることが知られている。一方、チャーン・サイモン　ゲージ理論と結び目理論は密接な関係があることが知られている。したがってランダム行列理論と結び目理論が深く関係していると考えることは当然であろう。実際にトーラス結び目のランダム行列による表現は知られている。しかし、トーラス結び目以外の結び目に対するランダム行列は知られていない。結び目理論ではザイフェルトによるザイフェルト表面およびザイフェルトバンドにより任意の結び目を表せることが知られている。このザイフェルト表面はランダム行列のバーテックス同士の組み合わせで作り出せることが可能であることが研究により判明した。この際、結び目が一筆書きで表せられることに注目すると、ランダム行列理論のレプリカ極限が結び目を表すと考えられる。すなわち、行列の積のトレースに対するガウス平均でレプリカ極限を取ることにより、結び目を表すことが可能である。絡み目も同様にレプリカ法で作成された結び目同士の連結部分を考えることにより生成できるので、ランダム行列理論は結び目・絡み目に対し強力な新しい研究方法と結論付けられた。結び目理論で基本的なスカイン関係式及びそれに基づく結び目多項式がそれぞれの結び目について重要となるが、以前の研究でのゲージ理論に対するランダム行列理論のレプリカ法がこの関係を解明するのに鍵となると思われる。リーマン面のオイラー標数に計算で使われたハーラー・ザギアー変換を結び目多項式（HOMFLY-PT)に適用し、結び目とランダム行列理論との解明の手がかりを得た。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 新たに超対称ランダム行列理論がレプリカ法に基づいて結び目理論に適用され得ることが判明し、その研究を遂行した。多くの計算を必要とされるが、その過程で重要な発見があった。
Strategy for Future Research Activity	前年度のADE型の交点数の研究を結び目に対して適用し、ハーラー・ザギアー変換で得られた有理多項式を特異点理論（可換理論）の立場から代数的な構造を明らかにする。