2020 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of theory of polyhedral approximation of the semi-definite cone in conic optimization and its applications
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19H02373
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
吉瀬 章子 筑波大学, システム情報系, 教授 (50234472)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
八森 正泰 筑波大学, システム情報系, 准教授 (00344862)
佐野 良夫 筑波大学, システム情報系, 准教授 (20650261)
繁野 麻衣子 筑波大学, システム情報系, 教授 (40272687)
高野 祐一 筑波大学, システム情報系, 准教授 (40602959)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 錐最適化 / 半正定値錐 / 線形計画問題 / 優対角行列錐 / 二重非負値錐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
錐最適化モデルは，線形計画問題や半正定値計画問題を含む広範な最適化モデルであり，21世紀を代表する最適化モデルとして世界的規模で活発に研究が行われている．本研究では，2次割当問題など困難な数理最適化問題に対する「錐最適化モデル」の高い問題記述能力に着目し，応募者らが発案した半正定値基とそれらの拡張によって生成される多様な凸多面錐を精査することで，錐最適化手法のさらなる社会実装に役立つ，半正定値錐の凸多面錐近似の理論を構築する．理論的性質の導出と計算機実験を繰り返すことにより，計算効率と近似精度の双方から半正定値錐の凸多面錐近似の限界を見極め，半正定値錐の凸多面錐近似に関する独自の理論を構築するとともに，錐最適化の社会実装を意識した，計算効率の議論と検証を重視した理論構築を目指す．
令和元年度は，上述の半正定値基とそれらの拡張によって得られる半正定値錐の凸多面錐近似について，特に優対角行列錐ならびにスケーリングされた優対角行列錐との関係を理論的に示した．さらに最大安定集合問題に対し提案した凸多面体近似を用いた切除平面法を適用した計算機実験を行ったところ，既存手法に比べて計算時間と精度の面で効率的であったことからこの結果を論文にまとめた．
令和2年度は，この論文を，数理最適化分野で定評ある学術誌であるComputational Optimization and Applicationsに投稿した．その結果，査読報告書において，同論文内の理論と計算実験の内容の精緻化に対する示唆を受けため，令和2年度はこの示唆に従い論文の大幅な改訂を行った上で再投稿を行い，令和3年度に採択された．
さらに，この年に発表されたBlekhermanらの論文に着想を得て，提案した凸多面近似錐の精度を評価する指標の提案に関する理論的な解析を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初は，令和2年8月までに，半正定値錐の凸多面体近似理論の構築，応用可能性に向けた計算実験の準備を行って，計算実験を開始し，年1回の国際会議MOPTAで発表を行い，令和3年3月までに上記の知見をもとに新たな実験計画を作成，計算実験の再開し以上の実験結果を理論構築にフィードバックする予定であった．新型コロナウィルス感染症による影響で，MOPTAが延期され，知見の収集が困難となったが，投稿論文に対する査読報告における示唆が大変に有益であったため，この示唆を基に理論の再構築と追加の計算機実験を行い，当初の予想を超える好ましい結果が得られ，論文を改訂し，再投稿を行った．さらに本研究を引用しているBlekhermanらの論文が発表されたことで，本研究においても新たな課題が発見され，半正定値錐の多面体近似錐の精度を評価するための新たな尺度の提案に関する着想を得ることができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
上述のBlekhermanらの論文では，半正定値錐の多面体近似錐の精度を評価するため尺度の計算方法に関する提案が行われているが，彼らの尺度では，本研究で提案したいくつかの異なる多面体近似錐の精度がすべて同じ値をもつことがわかっている．これは彼らの尺度において，距離を測るために導入しているコンパクト集合がかなり制限的で，評価の対象とする集合の細部の情報を尺度に反映できていないことが理由と考えられ，このコンパクト集合をより一般的な集合に置き換えることで，より詳細な評価が行える可能性がある．今後はこうした方向で研究を進め，多様な凸多面錐近似の評価に適切な新たな尺度の提案を行いたいと考えている．
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