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19H05597
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
林 仲夫 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30173016)
川島 秀一 早稲田大学, 理工学術院, 教授(任期付) (70144631)
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
瀬片 純市 九州大学, 数理学研究院, 教授 (90432822)
服部 裕司 東北大学, 流体科学研究所, 教授 (70261469)
岩渕 司 東北大学, 理学研究科, 准教授 (40634697)
猪奥 倫左 東北大学, 理学研究科, 准教授 (50624607)
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| Project Period (FY) |
2019-06-26 – 2024-03-31
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| Keywords | 臨界型問題 / Shannonの不等式 / 移流拡散方程式 / 緩和時間極限 / 不確定性原理 / 高速拡散型退化放物型問題 / 最大正則性 / Keller-Segel方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者の小川は移流拡散方程式の高次元における時間大域的挙動について, 2次モーメントが有限の場合に有限時刻での解の爆発に関する最良と思われる初期条件に対する十分条件を同定し, さらに和久井洋司氏と共に初期2次モーメントが非有界の場合に解が有限時刻で爆発するか, 大域的に存在しても有界にとどまらないことを示した. また研究協力者の黒木場正城氏と共同で, 高速拡散型の退化移流拡散方程式の時間大域挙動を研究し, 時間大域解の時間無限遠での挙動がTalenti型の解に漸近することをEntropy dissipation 法と一般化対数Sobolev不等式を用いて示した.
さらに黒木場正城氏と共同で, 二つの成分の非線形連立放物型問題であるKeller-Segel 方程式の緩和時間無限大極限を考察した. この問題は化学物質の拡散が粘菌体の挙動よりも遅い場合を記述する問題で, 緩和時間極限の特異極限問題をFujita-Katoの原理に従うスケール臨界空間において証明した. 証明には臨界スケールにおける放物型方程式の最大正則性と, 複数の実補間空間を組み合わせた埋め込みなどの議論を必要とする. 結果として従来知られていなかった, 初期層を伴う特異極限が質量有限の現実的なモデル設定の下で空間3次元以上の臨界スケール空間で証明された.
また上記の研究に関連して, Shannonの不等式の一般化を研究し, 久保英夫氏(北大理)と勝呂剛志氏(東北大理・博士学生)らとともに, 対数型Sobolevの不等式のより弱い形態であるBecknerの不等式を考察し, その双対であるShannonの不等式と定数の漸近的最良性を証明するとともに, 対数型重みによる不確定性不等式の再良版を証明した. この不等式からHeisenbergの不確定性原理をはじめそのL1版などが導出される.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
移流拡散方程式の解の挙動については, 高次元での解の爆発を与える, 臨界初期質量が同定されいない. その閾値を研究する上では, 質量集中を起こす解の挙動の研究が不可欠である. そのための弱集束列に対する一般論(形状分解構造定理)の改良や, 臨界値を与えるはずの函数不等式の精密な理解が必要である. これらに関連して高速拡散型問題や退化型問題の時間大域的解の漸近挙動の研究が存在するが, それらに有効なエントロピー拡散法において重要な役割を示すものと思われる対数ソボレフの不等式とその双対に相当するShannonの不等式の厳密な対応関係と, その対数重みにいたる改良が得られたことは本研究のこの方面の目標となる成果を上げる上で, 極めて重要である. 共同研究者の勝呂剛志氏は分担者の高橋太氏とともにこうした臨界型不等式の研究で重要な知見を得つつあり, 本研究の遂行に大いに貢献するものと期待できる. 一方分担者の川島秀一氏らはHall効果を伴った圧縮性粘性流体の問題に臨界空間での技法を注入して, 新しい知見を得つつある. さらに分担者の林仲夫氏は国際共同研究において得られた, 非線形境界条件の問題をさらに進展されて, 二重非線形問題への初期値境界値問題への展開を目指しており, 当初の研究目標に加えて, 初期値境界値問題に対する研究の展開を予見させる研究状況であって, 進捗状況は実に順調であるといえる.
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| Strategy for Future Research Activity |
清水扇丈氏と共同で, 半空間における, 熱方程式の初期値境界値問題の最大正則性を研究し, 非斉次Drichlet およびNeumann 境界条件の最適境界トレース評価を得た. これを拡張して一般の放物型初期値境界値問題の端点臨界最大正則性を証明し, 最適境界トレース評価の確立を目指す. これらを確立すると非圧縮性粘性流体方程式の初期値境界値問題, とりわけ自由境界問題などへの応用が期待できる.
一方, 川島秀一氏, 中里亮介氏とHall 効果を伴う圧縮性粘性流体の基礎方程式の臨界適切性と時間大域的挙動を臨界スケール空間で考察中であり, その時間大域的挙動について詳細に検討を重ねる.
分担者の林仲夫氏は大阪大学を定年となり, 今後は科研費による雇用により東北大の特任教授として迎え引き続き非線形分散型問題の漸近挙動の国際共同研究を推進する予定である.
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