2019 Fiscal Year Annual Research Report
Fractal Analysis for Subset Sum Problems and its Applications to Cryptography
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19J00126
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
鎌田 祥一 首都大学東京, 大学院理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | 部分和問題 / ナップザック暗号 / 組合せ論 / 加法的整数論 / 格子問題 / フラクタル次元解析 / 多重フラクタル次元解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
部分和問題は与えられた整数が有限個の正の整数の部分集合の和かどうかを判定する問題である。ある整数がそのような和で書けるとき部分和で表現可能という。部分和問題は加法的整数論や加法的組合せ論の問題であり、それと同時にNP完全な問題でもあるため、ナップザック暗号など暗号の文脈にも現れる。
部分和問題を最短ベクトル問題などの格子問題に帰着させるとき、その帰着の失敗確率の上から評価を特徴量として密度というパラメータがある。本研究はこの密度をフラクタル次元(のような量)で置き換えることで部分和問題の求解困難性やそれらに付随する組合せ構造をより深く考察ことにある。
部分和問題に対応する斉次方程式の解全体は帰着に使われる格子の部分格子とみなせる。そこで、その斉次方程式の解で -1,0,1 を成分に持つもの(弱い分割問題の解)全体を求めるアルゴリズムの構成を試みた。
弱い分割問題の解全体の構造は部分和問題の解の一意性、非一意性などの情報を持っており、組合せ構造として有向マトロイドを弱めた構造を取り出せる。帰着の失敗確率はある意味でランダムな部分和問題について定義されるものであるため取り扱いが難しい。そこで、ランダムでない部分和問題の帰着の失敗の度合いを定義し、その下界を示し、部分和で表現可能な元の表現数との関連性を明らかにできた。多重フラクタル次元解析の応用可能性もある程度見出せた。研究結果の一部は組合せ論や整数論など数学の研究集会で講演を行った。
マトロイドは線形独立性の組合せ論的な抽象化とみなせ、線形空間の次元をも抽象化される。一方で、フラクタル次元(ボックス次元やハウスドルフ次元)には確率論的独立性が関連していることが先行研究として知られているものの、組合せ構造との関連性が不明だった。そのため、組合せ論サマースクール2019の未解決問題セッションの口頭発表で問題提起を行い情報交換を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
部分和で表現可能な元の表現数たちを多重フラクタル次元解析の言葉で書く必要があるが、そのために必要な弱い分割問題の解全体を求めるアルゴリズムと部分和で非一意的に表現可能な元を求めるアルゴリズムの構成に時間がかかりすぎたことが主な理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
弱い分割問題の解をすべて求めず、条件を適切に制限しアルゴリズムが効率的に動作する範囲で研究を行う。加法に関連した整数論や組合せ論の研究集会、セミナー、勉強会などへ積極的に参加し情報収集、発表を行う。今年度は論文を学術雑誌等に投稿できなかったので、2～3編程度の論文を執筆し、順次投稿したい。
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