2020 Fiscal Year Annual Research Report
反射的凸多面体を中心とした格子凸多面体の分類理論及び正規性に関する探究
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19J00312
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
土谷 昭善 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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2019-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | 格子凸多面体 / 正規凸多面体 / トーリック多様体 / Castelnuovo多様体 / Fano多様体 / 反射的凸多面体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
格子凸多面体の正規性に関する研究は組合せ論だけでなく可換環論や代数幾何学，そして最適化といった純粋数学や応用数学の様々な分野に現れる重要な研究である．当該研究目的はこの正規性に関するStanleyのunimodal予想や小田予想の解決を特に反射的凸多面体に関して解決することである．
今年度の研究では偏極トーリック多様体がCastelnuovoとなる必要十分条件を付随する格子凸多面体の組合せ論的性質を用いて与えることに成功した．これは川口による格子凸多面体が内部に格子点を持つときのCastelnuovo偏極トーリック多様体の特徴づけの証明のギャップを埋め，さらにその結果を一般化している．またこの特徴付けを用いて格子凸多面体が正規となる必要条件を与えた．特に，その条件において小田予想が正しいことが示された．
一方，反射的凸多面体と１対１対応にあるGorensteinトーリックFano多様体のrigid性に関する研究を行なった．GorensteinトーリックFano多様体は余次元2で非特異かつ余次元3でQ-分解的であればrigidとなることが知られている．そこでグラフに付随する反射的凸多面体である対称辺凸多面体に着目し，付随するGorensteinトーリックFano多様体が上記の条件を満たす必要十分条件をグラフの言葉で与えた．この結果を用いることで，非特異ではないrigidなGorensteinトーリックFano多様体の例を豊富に得ることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Castelnuovo偏極トーリック多様体の特徴付け問題を完全に解決し，小田予想が成立する格子凸多面体のクラスを発見するなど着実に研究が進展しており，さらに代数幾何的性質であるrigid性に関する結果を得るなど，今後の研究の発展が見込まれる．
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| Strategy for Future Research Activity |
Castelnuovoトーリック多様体の組合せ論的特徴づけを用いてその分類を行う．特に，付随する格子凸多面体が反射的凸多面体となるときの分類を目指す．また偏極多様体の断面幾何種数の理論を用いて格子凸多面体が正規となる必要条件を探り，小田予想の解決に取り組む．
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