2020 Fiscal Year Annual Research Report
共形場理論と量子タイヒミュラー理論を通した共形ループ集団の研究
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19J01279
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
越田 真史 中央大学, 理工学部, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | パフィアン点過程 / CAR代数 / 多重シュラム・レヴナー発展 / ガウス自由場 / 頂点作用素代数 / 量子群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０２０年度は次に述べる研究を行った。
【１】自由フェルミオン代数とパフィアン点過程：一般に、点過程とは空間中のランダムな点配置のことを指す。パフィアン点過程とは、相関関数が２点相関関数のパフィアンで表されるものを指す。パフィアン点過程の特別な場合である、行列式点過程については、その自由フェルミオンとの類似がよく知られている。本研究では、この類似をパフィアン点過程に拡張した。とくに、自由フェルミオン代数の「準自由状態」が与えられるごとに、パフィアン点過程が、確率測度として存在することを示した。
【２】多重シュラム・レヴナー発展の基本的な性質：シュラム・レヴナー発展（SLE）は、二次元臨界格子模型における、ドメイン壁を記述するランダム曲線である。SLEを複数の曲線を記述できるように拡張したものは、多重SLEとよばれる。通常のSLEは、連続曲線を定めることが知られており、曲線の様子のパラメータ依存性も明らかとなっている。本研究では、対応する結果を多重SLEに対して示した。その際に、昨年度に研究した、多重SLEとガウス自由場の結合を応用した。
【３】共形場理論における結合律：共形場理論のなかでも、非有理数の中心電荷をもつヴィラソロ頂点作用素代数の表現論を研究した。とくに、特定の表現の族に着目すると、この表現はフュージョン積で閉じた代数構造をもつが、その結合律の表示に、量子群の表現論の結合律を支配する構造定数が現れることを見出した。これは、頂点作用素代数と量子群の双対性の一例となっていると考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では想定されていなかった、新しい研究テーマへの道が開けていると言える。たとえば、パフィアン点過程の研究や、多重シュラム・レヴナー発展の研究は、当初予定されていなかったが、研究計画を進める中で、発展してきた内容である。研究計画から「外れている」と見ることも可能かもしれないが、新しい研究方向が見出される、というのは計画通りに研究を進めること以上に、学術的価値があると考える。また、２０１９年度にプレプリントとして発表した論文の多くが、２０２０年度に学術雑誌に掲載が決定した。これらの理由から、現在までの進捗状況を「当初の計画以上に進展している」とした。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、共形場理論に関する論文を完成させる。また、共形場理論に関する研究については、さらなる発展の道筋があるので、そちらの研究を進める。
パフィアン点過程、および多重SLEに関しても引き続き、研究を進める予定である。
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