2020 Fiscal Year Annual Research Report

非線形分散型方程式におけるソリトンの数学解析とその応用

Research Project

Project/Area Number	19J01504
Research Institution	Kyoto University
Principal Investigator	林雅行京都大学, 数理解析研究所, 特別研究員(PD)
Project Period (FY)	2019-04-25 – 2022-03-31
Keywords	非線形シュレディンガー方程式 / ソリトン / 孤立波 / 不安定性 / 質量臨界
Outline of Annual Research Achievements	2020年度は昨年度に引き続き，微分型相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式(NLS)の研究を行った．特に通常の微分型NLSに質量臨界の構造を保つ冪型非線形項を付加した方程式を主な研究対象として扱った．付加項は微分型NLSのソリトンが満たす楕円型方程式の観点から自然なものとなっており，質量臨界の方程式として豊富な数学的構造をもっている．主な研究成果として，付加項が集約的であるときに，ソリトン全体の中で安定／不安定の境界に位置する退化したソリトンの不安定性を証明した．この結果では先行研究における付加項の係数の大きさの仮定を取り除いただけでなく，不安定方向についてのより詳細な情報を引き出すことにも成功した．退化したソリトンは質量臨界冪のNLSや臨界一般化KdV方程式にも現れ，これらの方程式ではこのソリトンを境に時間大域的ダイナミクスが変化していることが知られている．今回の結果では他の質量臨界の方程式との興味深い関連を証明レベルで与えており，退化したソリトン近傍のダイナミクスの解明へ向けた重要な進展である．また証明の大部分が付加項なしの微分型NLSにおける代数ソリトンに対しても適用可能である点は注目すべきであり，今後の微分型NLSにおける研究の重要な指針を与えることが期待される．付加項が反発的である場合には，全てのソリトンが軌道安定であることを証明し，特に代数ソリトンが安定になるという数学的に興味深い例を与えた．代数ソリトンは従来の主要なツールであったスペクトル解析に基づくアプローチが難しく，安定性／不安定性は未解明な部分が多かったが，変分的解析が代数ソリトンの安定性理論において有用であることが今回の成果を通じて分かってきた．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 上記の研究成果は，ある種の退化した状況のために従来の一般論の枠組みから外れ未解決のまま残されていた問題を扱っている．退化したソリトンの不安定性の証明では，先行研究では十分議論されていなかった精密な不安定方向の情報まで調べており，今後のソリトン近傍のダイナミクスの研究において役立つことが期待される．また証明で用いたヴィリアル等式が微分項を非線形項にもつNLSにおいても有効に機能することが明らかになった点は重要であり，今後の発展が期待できる．付加項なしの微分型NLSの代数ソリトンに関しては，不安定性に関する有用な示唆や技術的発見はあったものの，エネルギー空間における安定性／不安定性はまだ未解決となっており，今後の課題として取り組みたい．
Strategy for Future Research Activity	微分型NLSにおいては代数ソリトンの安定性／不安定性の解明，付加項付きの微分型NLSにおいては不安定ソリトン近傍の時間大域的ダイナミクスの解明を目標に研究を進めていく．本年度の研究でも明らかになったように，微分型NLSは他の質量臨界の方程式と密接な関連がある．来年度は関連する方程式の先行文献を読み込み，理解を深め，微分型NLSの研究に活かせるかどうか試みたい．また代数ソリトンとの関連で二重冪型の相互作用をもつNLSの研究も進めていく．二重冪NLSではエネルギー劣臨界の枠組みで代数ソリトンが現れる点が興味深く，純冪型のNLSには見られない豊富な数学的構造を持っている．前年度に進展があった二重冪NLSの研究をさらに推し進め，代数ソリトンにまつわる数学理論を整備していきたい．