2020 Fiscal Year Annual Research Report
対数型Ｓｏｂｏｌｅｖの不等式を用いた非線形発展方程式の解の正則性の研究
| Project/Area Number |
19J20763
|
|---|
| Research Institution | Tohoku University |
|---|
Principal Investigator |
勝呂 剛志 東北大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2022-03-31
|
| Keywords | 移流拡散方程式 / 一様局所可積分空間 / 適切性 / エントロピー / 対数型 Sobolev の不等式 / モーメント不等式 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度に実施した研究の成果として、走化性粘菌の運動を記述する偏微分方程式系である Keller－Segel 系を単純化した移流拡散方程式の初期値問題の適切性を示した。Keller－Segel 系は半線形熱方程式の一つであり、その解の空間局所的な正則性を調べるために、初期値問題の適切性の研究に着手した。この方程式系は非局所的な非線形移流項を擁する拡散方程式であり、函数に対して空間遠方における減衰を課さない函数空間である一様局所可積分空間において初期値問題が適切性であることを示すのは困難である。本研究では、初期値問題において移流効果を与える積分作用素のポテンシャルの空間遠方における減衰度に着目することで、一様局所可積分空間におけるポテンシャル評価を導出した。その応用として、移流拡散方程式の初期値問題の尺度不変性から従う臨界な一様局所可積分空間における適切性を示した。
他方で、Boltzmann－Shannon エントロピーの一般化エントロピーを用いて、準線形移流拡散方程式の初期値問題の解の長時間挙動を考察した。これは、昨年度に実施した研究であるエントロピー汎函数に対するモーメント不等式の最良定数が得られたことによるものである。移流拡散方程式はエントロピー汎函数と相互作用エネルギーの Wasserstein 距離に関する勾配流であることが知られている。本研究では、移流拡散方程式の擁する質量保存則とエントロピー消散性をモーメント不等式と組みわせることで、初期値問題の解が有限時間で爆発するための初期値の条件を考察した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究は、非局所的な非線形項を持つ拡散方程式である移流拡散方程式の初期値問題の一様局所可積分空間における適切性の検証を目的としていた。本研究では、エントロピー汎函数やそれに関する函数不等式を用いて発展方程式の正則性を調べるのが目標である。移流拡散方程式は質量保存則とあるエントロピー汎函数の消散性をもつ一方で、非線形項の非局所性より空間局所的な解の正則性の研究が困難である。その点において、初期値問題の一様局所可積分空間における適切性の研究は次年度以降の研究の前段階として重要であるため、研究は概ね順調に進展していると判断する。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として、単純化する前のモデルである Keller－Segel 系から移流拡散方程式への特異極限問題を一様局所可積分空間上において考察することを目的とする。これにより、Keller－Segel 系の初期値問題の解の空間局所的な情報が移流拡散方程式の解に引き継がれることが期待される。また、移流拡散方程式に対応したエントロピー汎函数を空間において局所化させたものを用いた解の空間局所的な正則性の研究も並行して行う。
|
Research Products
(3 results)
