2020 Fiscal Year Annual Research Report
Fractal geometry, zeta functions associated with fractals, and applications to number theory
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19J20878
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Research Institution | Nagoya University |
Principal Investigator |
齋藤 耕太 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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Keywords | 等差数列 / ピアテツキーシャピロ列 / フラクタル次元 / 素数表現関数 / 不定方程式 |
Outline of Annual Research Achievements |
本研究は与えられた集合が等差数列を含むかという問題を主題とし、項数の大きい等差数列を含むような新しい集合のクラスを与えることを目的としている。私は集合の複雑さを実数で表すフラクタル次元を用いて、この問題にアプローチしてきた。 今年度は主に3つの成果を上げることができた。1つ目が、指数の大きいピアテツキーシャピロ列の3変数線形不定方程式について研究を行った。この研究は名古屋大学の松坂俊輝氏との共同研究である。この結果によって、項数3の等差数列を無限個含むような疎な集合の具体例を構成することができた。ある種、「項数3の等差数列を含むような新しい集合のクラスを与えた」とも言えるが、「クラス」と呼ぶにはまだまだ小さく限定的である。これから得られた結果をより一般の集合や項数について拡張していく必要がある。 そして、2つ目はピアテツキーシャピロ列の2変数線形不定方程式について研究した。これは単独の研究である。松坂氏との研究では3変数について扱ったが、この研究では最も簡単な2変数の場合を考えることにした。結果として2変数では3変数よりも強いことが成立することを明らかにし、有理数による近似との関係も明らかにした。 さらに3つ目は素数表現関数について研究を行った。任意の正の整数を代入したとき、常に素数を出力するような関数を素数表現関数と呼ぶ。この研究にもフラクタル幾何学的なアプローチを行い結果を得ることができた。 どの研究でも離散と連続の中間の性質を持つ集合の幾何を理解することが重要であり、フラクタル幾何学が中心的な役割を果たした。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
指数が大きい場合のピアテツキーシャピロ列からなる等差数列の存在性を示すことは困難であると考えていた。実際、現在知られている等差数列の存在を保証するどの定理を用いてもこの数列からなる等差数列を発見することはできなかった。さらに、エルデシュ・トゥーラン予想という等差数列の存在性に関する強い予想を仮定したとしても、この数列からなる等差数列の存在はわからなかった。しかし、共同研究を行った松坂俊輝氏のアイデアを出発点に、フラクタル幾何学や一様分布論などの道具をうまく使うことによってピアテツキーシャピロ列からなる項数3の等差数列を発見することができた。等差数列だけでなく、フェルマー方程式型の不定方程式への応用なども得られた。 今年度はこの結果に限らず、2変数の場合や素数表現関数に関する結果も得ることができた。よって以上の進展から、「(1)当初の計画以上に進展している」を選んだ。
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Strategy for Future Research Activity |
今後はより項数の大きいピアテツキーシャピロ列からなる等差数列を見つけたい。さらに、得られた結果を拡張し、一般の項数の等差数列を含むような集合のクラスを発見したい。今年度の研究で数論の文脈で現れる離散と連続の両方の性質を持った集合の幾何学にも興味を持ったので、来年度はフラクタル幾何学だけでなく位相幾何学的なアプローチも考えていく予定である。
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Research Products
(8 results)