2020 Fiscal Year Annual Research Report
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19J21165
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
埴原 紀宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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2019-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | Calabi-Yau三角圏 / 団圏 / 団傾理論 / dg代数、dg圏 / 遺伝的多元環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Amiot-Guo-Kellerによるカラビ・ヤウ（Calabi-Yau, CY）微分次数付き（differential graded, dg）代数に対する団圏は、団傾対象を持つCY三角圏として団傾理論において重要な対象である。本年度は団圏やその類似のdg増強を研究した。
団圏を増強するdg代数がKellerのdg軌道圏に生成元を代入することで明示的に与えられるという観察により、団圏のAmiotによるVerider商の表示と、Kellerによる軌道圏の表示を直接的に結びつけることができる。この考察から出発し、主要な結果として以下を得た。
(1) 団傾対象の類似を持つ三角圏はAmiot流のVerdier商として記述できることを示した。この一般論の応用として、強遺伝性を満たすd-団傾対象を持つd-CY三角圏の構造定理を与えた。この定理はd=2の場合のKeller-Reitenによる著名な結果および、d=3の特別な場合のKeller-Murfet-Van den Berghの定理を、部分的に共通に大きく一般化するものである。この構造定理の適用して、団圏のCY退化の明示的な例を与えた。
(2) 上記の構造定理の証明の副産物として、このような遺伝的CY三角圏のdg増強の一意性を示した。
(3) 上の定理は遺伝的多元環のAuslander-Reiten移動のべき根を伴うが、このようにAuslander-Reiten移動がべき根を持つ箙の組み合わせ論的特徴づけを与えた。このような箙に対して団圏のべき根類似が団傾対象を持つことを示した。
上記の諸結果まとめて公表するとともに国内外の研究集会（オンライン開催）で講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
団傾対象を持つCalabi-Yau三角圏の構造定理を良い形で与えることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き団圏の研究を行う。今年度の研究は遺伝的多元環に由来する団圏が主要な対象であったが、今後は遺伝性を仮定せずに類似の結果が得られるか模索する。そのためにはdg増強を考察することがより本質的に必要になると考えられる。そこで団圏や関連する三角圏の増強に関する考察を進める。さらに遺伝性を落とすことで扱える対象が大きく広がるため、可換環の表現論への応用を見据え、Gorenstein環の特異圏のdg増強などを扱う技術を探る。
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