2019 Fiscal Year Annual Research Report
幾何的手法による志村多様体および局所Langlands対応の研究における新展開
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19J21728
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
沖 泰裕 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2019-04-25 – 2022-03-31
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| Keywords | 志村多様体 / Rapoport-Zink空間 / 超特異部分 / 数論幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
奇素数pで分岐する虚二次体における符号(2,2)の一般ユニタリ群に対し, pでのレベルがスペシャル最大パラホリックであるような志村多様体の超特異部分の構造の記述を与えた. 具体的には, 連結成分は純2次元または純1次元であること, 既約成分は次数p+1のFermat曲面または射影直線と双有理同値であることを証明した. この研究成果の証明で扱うRapoport-Zink空間は2つ存在する. そのうちの一方については, 2次四元数ユニタリ群に対するRapoport-Zink空間からの閉埋め込みを構成し, それが誘導する底空間の射がよい性質をもつことを証明した. これにより, 過去に得られていた2次四元数一般ユニタリ群に対するRapoport-Zink空間の結果と関連付けて解明することに成功した. また, 他方についてもWuによる先行研究をもとにして構造を明らかにした. ここまでの結果は論文としてまとめ, 国内のいくつかの研究集会で発表を行った.
一般スピノル群に対しても, レベルがスペシャル最大パラホリック部分群で与えられるbasicなRapoport-Zink空間の底空間の構造を明示的に記述した. 証明の方針は, 2次四元数一般ユニタリ群に対するRapoport-Zink空間の構造の研究手法と同様である. より詳しく, Howard-Pappasによる超スペシャルレベルの一般スピノル群に対するRapoport-Zink空間に関する結果と関連付けることで問題を解決した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の予定通り, 一般スピノル群に対するRapoport-Zink空間の底空間の構造の記述を完成させることができた. また, 符号(2,2)の分岐ユニタリ群に対しては2通りの記述方法を与えた. いずれも他の群に対するRapoport-Zink空間と関連付ける手法を取っているため, 数論的交叉理論などへの応用が期待できる.
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| Strategy for Future Research Activity |
一般スピノル群に対するRapoport-Zink空間の底空間の構造の記述の応用について研究する. 数論的交叉理論への応用は, He-Li-Zhuによる数論的Gan-Gross-Prasadサイクルの理論の類似などを考察する. 一方で, 志村多様体のbasic locusの構造の記述へ応用するためには, p進一意化定理が必要となる. 今回の場合にそのような結果は知られていないため, p進一意化定理の拡張も必要に応じて行う.
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