2019 Fiscal Year Research-status Report
Arithmetic study of regulators using special functions
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19K03391
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
朝倉 政典 北海道大学, 理学研究院, 教授 (60322286)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | レギュレーター / 超幾何関数 / 代数的K理論 / L関数 / p進L関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数多様体のレギュレーターを研究している。超幾何関数をはじめとする特殊関数を用いた研究を継続して推進中である。
レギュレーターの歴史は、19世紀におけるディリクレの解析的類数公式にさかのぼる。ディリクレがその公式の中で代数体の単数群のレギュレーターを導入したのがはじまりである。最も大きな特徴はそれがゼータ関数のs=1での特殊値を与えることである。この公式をモチーフという枠組みの中で一般化したのが、ベイリンソン予想である。ベイリンソン予想においては、ゼータ関数はモチーフのゼータ関数に一般化され、レギュレーターはモチーフのレギュレーターへ一般化されている。多くの研究者が、様々なアプローチ、様々なアイデアを駆使してこの問題に取り組んでいるものの、解決への道のりは遠く、まだまだ乗り越えるべき課題は多いと思われる。
本研究課題においては、特殊関数とりわけ超幾何関数を用いた新しいアプローチでベイリンソン予想の研究に取り組んでいる。2019年度においては、3つの論文(プレプリント)を書き上げた。(1)「Rossのシンボルの高次K群への一般化」フェルマー曲線のK_2にはRossが構成した元がよく知られているが、高次K群に一般化した元を構成した。この元を使ってK3曲面のベイリンソン予想を証明した。(2)「p進ベイリンソン予想の数値的検証(千田雅隆氏、F.Brunault氏との共同研究)」サントミックレギュレーターを数値的に計算する新しい手法を与え、p進ベイリンソン予想の検証を行った。(3)「Dworkのp進超幾何関数の多項式時間での計算アルゴリズム」アイソクリスタルの理論に基づき、通常なら指数関数時間かかる計算を多項式時間で与えるアルゴリズムを考案した。3編ともアーカイブに掲載し、近いうちに投稿する予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2019年度においては、レギュレーターと特殊関数の研究において下記のような進展があった。
(1)超幾何ファイブレーションの高次元化のアイデアを得た。これまで、1次元の超幾何ファイブレーションを、大坪紀之氏と共同で研究し、その成果を5編の論文(出版または出版予定)にまとめたが、その高次元化をいかにして定義するかが、課題として残されていた。これは本研究課題における研究計画のひとつである。今回、高次元化のアイデアを得たことで、実現に向けて大きな進展を得ることができた。
(2)千田雅隆氏、F.Brunault氏と共同で、p進ベイリンソン予想の研究を行った。p進ベイリンソン予想は、90年代にPerrin-Riouによって定式化されたが、あまりの複雑さゆえ、研究者たちにとっても手をつけることが困難な問題である。我々は、まずこの予想を、より扱いやすい形に再定式化し、次にそれを数値的に検証する、または(特別な場合に)証明する、ということを行った。特に、研究代表者は、アイソクリスタルを用いたp進レギュレーターの計算を担当した。これは従来にない新しい手法を与えたものである。特に、ベイリンソン・加藤の元が消えるような場合にも適用できる手法となっている。
(3)研究計画にはなかったが、Dworkのp進超幾何関数の値を計算するアルゴリズムを与えた。Dworkの合同関係によって、アルゴリズムはすでに存在していたが、それは指数時間を要するアルゴリズムであり、効率が悪い。研究代表者は、これを多項式時間で処理する新しい手法を与えた。アイデアは、アイソクリスタルに関するKedlaya-Tuitmanの結果を適用することである。
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度に得られた上記３つの成果について、さらに発展・深化させることを行う。
(1)超幾何ファイブレーションの高次元化について。超幾何ファイブレーションの高次元化と共に、Rossのシンボルの高次元化を得ており、それはベイリンソン予想およびp進ベイリンソン予想へ応用が期待できる。従って、2020年度においては、まず論文の完成させた上で、ベイリンソン予想の研究を行う。
(2)p進ベイリンソン予想について。千田雅隆氏、F.Brunault氏との共同研究によって得られた結果は、K_2群についてのみであるから、これを一般化させることを行う。その際、何を証明すべきかについては、詳しい定式化がすでに得られているので、いかにそれを証明していくかが課題となる。
(3)Dworkのp進超幾何関数の計算アルゴリズムについて。2019年度中に、2F1型のDworkのp進超幾何関数の計算アルゴリズムを完成させたが、nF{n-1}型については、未完成である。これは(1)における超幾何ファイブレーションの高次元化が鍵となる。しかし、まだ技術的に困難な点があり、完成には至っていない。2020年度中にこの困難を克服することでアルゴリズムを完成させたい。
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| Causes of Carryover |
2020年3月21日から4月4日まで、ケンブリッジ大学における国際研究集会への参加を見込んでいたが、コロナウイルスの影響のため、研究集会が中止になった。そのため、イギリス旅費として計上していた金額が、そのまま次年度へ繰り越すことになった。コロナウイルスが終息すれば、中止になった研究集会が復活する可能性があるので、そのときに使用したい。研究集会が復活しなかった場合には、現在行っているプロジェクトの海外の共同研究者を招聘する案を考えている。
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