2021 Fiscal Year Research-status Report
A study on multiplicative functions and zeros of zeta functions
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19K03392
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| Research Institution | Otaru University of Commerce |
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Principal Investigator |
赤塚 広隆 小樽商科大学, 商学部, 教授 (30535860)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 乗法的関数 / ゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
デデキント和はコタンジェント関数の有限和であり、相互法則が古典的に知られている。BettinとConrey(2013)は別のコタンジェント関数の有限和を考えた。これは有理数を定義域とする関数であり、リーマン予想とも関連するものである。BettinとConreyはある種の相互法則(Zagierにより提唱されている量子保型性に近い性質)が成り立つことを示した。
本年度は、Bettin-Conreyによるコタンジェント関数の有限和の相互法則について、昨年度に引き続き研究を行った。Bettin-Conreyにより、相互法則を表す関数のx=1におけるn番目のテイラー係数について、nを無限大に飛ばしたとき、ある漸近公式が知られている。本研究は漸近解析の手法の一つのLaplaceの方法を適用することで、Bettin-Conreyの漸近公式を完全漸近展開に精密化することができた。この結果の証明法は完全漸近展開の係数を具体的に計算するアルゴリズムを与える方法であるが、複雑な計算を要するものである。係数のより簡潔な計算アルゴリズムを与えるため、合流超幾何関数やベッセル関数などの漸近展開を用いる別証明も試みているところで、これは現在進行中である。
昨年度のBarnesの多重ゼータ関数を用いたコタンジェント和へのアプローチを用いて、コタンジェント和のディリクレ指標ひねりの適切な定式化についても、考察を行った。
昨年度に行ったBarnes多重ゼータ関数を用いたコタンジェント関数の積の有限和に対する相互法則の研究について、4月に名古屋大学の解析数論セミナー（オンライン）で、ゼータ関数の専門家に向けて講演を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究開始当初には想定しなかった成果は得られているものの、昨年度の方策として書いた論文のとりまとめ作業が遅れているため。また、二次体から作られる乗法的関数や数論的関数とゼータ関数・L関数の零点の関係については、十分な研究結果が得られていないため。
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| Strategy for Future Research Activity |
論文のとりまとめ作業が遅れていること、得られた結果がやや散逸的になっていることから、論文へのとりまとめを中心に研究を実施していきたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症の流行により、研究集会参加などの予定がほぼすべてキャンセルとなったため、大きな残額が生じることとなった。今後の感染症流行の状況にもよるが、議論や成果発表を行うための旅費や、必要書物の購入などのために使用していきたい。
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