2020 Fiscal Year Research-status Report
Representation of finite groups and its application for the study on existence of equivariant cylinders in Mori Fiber Spaces
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19K03395
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
岸本 崇 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (20372576)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 代数的トーラス / Weyl群 / Sarkisovプログラム / アフィン空間 / 森ファイバー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度に於ける，研究課題「有限群の線形表現と森ファイバー空間内の有限群に関する同変シリンダーの存在性」についての研究実績であるが，大きく２つの方向性で発展させる事が出来た． 詳細には，次の２つ(A),(B)である:
(A) Q-分解的とは限らない，端末的なトーリック３次元Fano多様体のうち，対応するWeyl群と代数的トーラスの半直積に関して，birationally super-rigid, birationally rigid, solidであるようなモノを，Sarkisovプログラムと，代数群作用の視点から分類をした．Weyl群と代数的トーラスの半直積は，勿論，有限群ではないのであるが，この半直積に含まれる有限群に関する，birationally super-rigid, birationally rigid, solidの性質についても考察を進め，ある種の十分条件を求める事が出来た．[Ivan CheltsovとAdrien Duboulozとの共同研究]
(B) アフィン空間のピカール数が１のFano多様体(これらは森ファイバー空間の特殊なケース)への埋め込み問題は，Hirzebruchにより提唱された重要な問題である．次元が３以下の場合には，古島幹雄氏を始めとする数々の研究者の貢献により解決されている．しかし３次元の場合でも，一般の森ファイバー空間への埋め込みは分類されていない．今回の研究では，任意次元nのアフィン空間を，相対次元が(n-1)の森ファイバー空間に埋め込む為の，１つの系統的な手法を編み出すことに成功した．結果として，ファイバーが有理的とは大きくかけ離れている多様体である場合にも，アフィン空間を森ファイバー空間の全空間に埋め込む技術を開発できた．[Adrien DuboulozとKarol Palkaとの共同研究]
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本研究課題「有限群の線形表現と森ファイバー空間内の有限群に関する同変シリンダーの存在性」については，特に令和２年度については、当初，想定出来なかった世界的なコロナウイルスの蔓延により，海外の数名の共同研究者と，直接的な議論をする機会は無くなったものの，Zoomなどのツールを用いることにより，令和２年度も令和元年度と同様に，共同研究の議論を頻繁に積み重ねることが出来た．結果としては，特にAdrien Dubouloz, Ivan CheltsovそしてKarol Palkaらと，令和元年度から温めていた２つの諸問題に関する，共同研究を効果的に進めて，２編の論文としてまとめ上げることが出来た．これら２編の論文は，arXivに令和２年度にアップしており，現在ともに投稿中である．前述したようにこれらの諸結果は，遡れば令和元年度からスタートした共同研究であり，令和元年度に直接的な議論で進展させた部分と，令和２年度にZoomなどの遠隔議論で発展させた部分の併合として得られたものであるので，私としてはやはり直接的な対面式の議論に勝るものはないと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題「有限群の線形表現と森ファイバー空間内の有限群に関する同変シリンダーの存在性」に関して，令和３年度は，新たにAdrien DuboulozとPedro Monteroとの共同研究として，ユニポテント構造を有する森ファイバー空間の理論を開始している．先述したように，令和２年度に於けるAdrien DuboulozとKarol Palkaとの共同研究では，ユニポテント構造は考慮せずに，単にアフィン空間を含む森ファイバー空間の分類・構成方法について，有意義な結果を得ることが出来たが，今回のプロジェクトは，アフィン空間を含むだけではなく，更に，ユニポテント構造を有する，つまりアフィン空間への平行移動によるユニポテント作用が，全体に延びるような森ファイバー空間の分類・構成方法に関する一般理論を推し進めている．ユニポテント構造を課すので，より限定的になることは予想される．まずは:
1) ユニポテント構造を持つと仮定をした上で，必要条件を徹底的に考察し，その後:
2) ふるいにかけられた森ファイバー空間が，実際にユニポテント構造を有するかどうかを，注意深く観察する,
という２つのステップが必要がある．実際には，2)が難しい箇所であると思われるが，研究代表者や共同研究者のこれまでの経験によれば，実行可能であると考えている．
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| Causes of Carryover |
令和２年度は，新型コロナウイルスの影響で，予定であったスコットランドや，フランスへの出張が出来なかった為に，その海外旅費分が令和３年度以降に持ち越しになった．令和３年度も相変わらず，新型コロナウイルスの状況は不透明ではあるが，秋以降から年末にかけては，世界的にワクチンが行き渡り，状況は好転するものと期待しており，その場合には，スコットランド，フランス，ポーランドなどに出張予定であるので，その海外出張に充てるつもりである．
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