2019 Fiscal Year Research-status Report
Quantum algebras and moduli theory
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19K03399
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
柳田 伸太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (50645471)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / 表現論 / 導来スタック / Hall代数 / 頂点代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年12月初旬までは、導来Hall代数の幾何学的定式化を研究し、プレプリント "Geometric derived Hall algebra" (arXiv:1912.05442) にまとめた。これはdg圏の対象の拡大の数え上げで定義されるToenの導来Hall代数を、拡大の導来モジュライ・スタック上の構成可能層を用いて定式化するものである。この研究で構築した導来スタック上の構成可能層の理論は、Hall代数に限らず広い範囲で応用を持つものと期待している。
2019年12月中旬から2020年4月までは、高種数 class S 頂点代数に関連して、頂点代数の導来接着(gluing)構成を研究し、プレプリント"Derived gluing construction of chiral algebras" (arXiv:2004.10055) にまとめた。class S頂点代数とは、Beemら物理学者が提唱した4次元/2次元場の理論対応から存在が推測されている頂点代数の族であり、荒川によって種数0の場合が構成されている。それらのassociated schemeは、Mooreと立川が提唱した複素シンプレクティック多様体に値を持つ2次元位相的場の理論に現れる多様体になっていると期待されていて、種数0の場合はBraverman, Finkelberg, 中島が構成した多様体になっていることが示されている。種数1以上のclass S頂点代数は未解明である。上記のプレプリントでは、種数0の場合に用いられたBRST簡約による接着(gluing)構成を"導来化"してdg頂点代数の圏で定義し、そのassociated (derived) schemeが導来Poisson代数の導来交叉になっていることを示した。これは種数1以上のclass S頂点代数の構成で有用であると期待している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
導来Hall代数の幾何学的構成の研究は、申請時には考えていなかったものであるが、導来代数幾何学によるモジュライ理論と量子代数の交差点にある話題である。この研究で得られた導来スタック上の構成可能層の理論は、構成するのに1年近くかかってしまったことが想定外であったが、Hall代数のほかにも様々な応用があると期待しており、時間をかけたかいがあったものと判断している。この研究は全体の2/3程度の進捗状況であり、次年度以降に残りの部分を進める予定である。
class S頂点代数の研究もやはり申請時には予期していなかった話題だが、こちらは頂点代数とモジュライ理論に関連しているもので、より申請時の計画に近い。具体的には、申請時にはループ空間に纏わるモジュライ理論を研究対象の一つに挙げたが、class S頂点代数の話題はそれと密接に関係すると期待される。実際、頂点代数の退化で得られる代数構造として頂点Poisson代数がしれれているが、それはPoisson多様体のジェット空間に自然に表れることが荒川により知られており、今回の研究でもそのことを用いた。ジェット空間はループ空間の部分空間とみなせて、ここに密接な関係があると期待できる。また今回の研究の準備段階で、頂点代数の表現論と導来代数幾何学の関係はあまり研究がなく、一方で様々な興味深い問題があることが分かった。それらを次年度以降の研究課題としたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
導来Hall代数の幾何学的定式化について、標準基底(canonical basis)の導来類似について研究する。LusztigによるRingel-Hall代数の幾何学的定式化は、(環上の加群の)モジュライ・スタック上の構成可能層の導来圏とperverse sheafを用いるもので、それによって基礎体の標数に関して普遍的な理論が得られ、特に標準基底を定義することができる。よく知られているように、Lusztigの標準基底は柏原の結晶基底と一致する。この理論の導来版ないし複体版を構築するのが目的である。まず導来モジュライスタック上の構成可能層の重みの理論を展開する。これはArtinスタックの場合の議論に従えばさほど難しくないと想定している。あとは、すでに導来Hall代数の幾何学的構成を済ませているので、Lusztigの理論の安直な類似を辿ればよいはずである。ここまでは2020年度中に目途をつけたい。より困難な問題は導来Hall代数の結晶基底、ないし組み合わせ論的な表示をもつ基底の構成で、まずは具体例を通じて実験的に研究を始めたい。
頂点代数に関しては、まず双有理幾何との関係を調べたい。進捗状況の欄で言及したが、頂点Poisson代数はジェット空間と関係するが、一方でジェット空間は代数多様体の特異点の研究にも自然に表れる。特異点の代数幾何学と頂点代数の表現論との関係を、まずは初歩的な状況で調べたい。もう一つの話題として、三角圏のBridgeland安定性と4次元/2次元対応との関係を研究課題としたい。
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| Causes of Carryover |
2019年度末に予定していた海外研究者の招聘がキャンセルになったことと、2020年度内に研究集会「ALTReT2020」の開催を予定していたため。これら二件について次年度に使用する予定である。
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