2022 Fiscal Year Annual Research Report
A function-field analogue of the Gauss hypergeometric function arising from Drinfeld modular curves over finite fields
| Project/Area Number |
19K03400
|
|---|
| Research Institution | Shiga University |
|---|
Principal Investigator |
長谷川 武博 滋賀大学, 教育学系, 教授 (80409614)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 超幾何関数 / 指数型超幾何関数 / 対数型超幾何関数 / ポリログ / 超越数 / ドリンフェルト加群 / ドリンフェルト・モジュラー曲線 / 超特異点 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
(1) タクール（Thakur）超幾何関数（いわゆるカーリッツ指数型超幾何関数）を一般化し，階数 r のドリンフェルト加群に付随する超幾何関数（いわゆるドリンフェルト指数型超幾何関数）を定義した（この関数は r = 1 のとき，タクール超幾何関数である）．同様に，ドリンフェルト対数型超幾何関数を定義した．それぞれある超幾何微分方程式の解であることを示した（超幾何微分方程式の価値は未定）．カーリッツ対数型超幾何関数については収束半径を求めた（r = 2 以上については収束半径は未決定）．ドリンフェルト超幾何関数をさらに一般化した（超幾何微分方程式は未決定）．一般化のキーは分割（partiton）の概念であった．
(2) Anderson と Thakur はカーリッツ加群の n 回テンソルに付随する指数関数（ n 次正方行列係数の無限級数）の係数の成分の一部分を明示的に与え，それらがカーリッツ指数型超幾何関数であることを発見した．われわれは全成分を明示的に与え，それらがカーリッツ指数型超幾何関数の線型結合であることを示した．同様に，カーリッツ加群の n 回テンソルに付随する対数関数の係数の全成分を明示的に与え，それらがカーリッツ対数型超幾何関数の線型結合であることを示した．カーリッツ・ポリログと，その変種の特殊値が「超越数」であることを示した．証明には Yu の 1991 年の結果を用いた．
(3) ドリンフェルト対数型超幾何関数（パラメータは自明）を用いて，有限体上のあるドリンフェルト・モジュラー曲線の塔が漸近的最良であることを証明した．具体的には以下： n 階のドリンフェルト・モジュラー曲線の有理点（超特異点）をカウントする際に，ドリンフェルト対数型超幾何関数の関数等式を用いた．種数の計算には Garcia-Stichtenoth の結果を用いた．
|
